深度学习 (DeepLearning) 基础 [3]—梯度下降法
Introduce
在上一篇“深度学习 (DeepLearning) 基础 [2]—神经网络常用的损失函数”中我们介绍了神经网络常用的损失函数。本文将继续学习深度学习的基础知识，主要涉及基于梯度下降的一类优化算法。首先介绍梯度下降法的主要思想，其次介绍批量梯度下降、随机梯度下降以及小批量梯度下降（mini-batch）的主要区别。
以下均为个人学习笔记，若有错误望指出。
梯度下降法
主要思想：沿着梯度反方向更新相关参数，使得代价函数逐步逼近最小值。
思路历程：
假设给我们一个损失函数，我们怎么利用梯度下降法找到函数的最小值呢（换一种说法，即如何找到使得函数最小的参数x）？首先，我们应该先清楚函数的最小值一般位于哪里。按我的理解应该是在导数为0的极值点，然而极值点又不一定都是最小值点，可能是局部极小值点。那么，既然知道了最小值点在某个极值点（梯度为0），那么我们使得损失函数怎么逼近这个极值点呢？
现在我们反过来思考上述梯度下降法的主要思想。首先，要理解这个主要思想，我们需要理解梯度方向是什么。梯度方向指的是曲面当前点方向导数最大值的方向（指向函数值增大的方向）。假设我们现在处在函数上x=xt这个点（梯度不为0，不是极值点），因此现在我们需要确定增加x还是减少x能帮忙我们逼近函数的最小值。前面说过梯度方向指向函数值增大的方向，因此我们只要往梯度的反方向更新x，就能找到极小值点。（可能还是有点迷，下面结合例子具体看梯度下降的执行过程来理解其主要思想）
（note: 由于凸函没有局部极小值，因此梯度下降法可以有效找到全局最小值，对于非凸函数，梯度下降法可能陷入局部极小值。）
举个梨子：
假设有一个损失函数如下（当x=0的时候取得最小值，我们称x=0为最优解）：
\[y = x^2
\]
我们需要利用梯度下降法更新参数x的值使得损失函数y达到最小值。首先我们随机初始化参数x，假设我们初始化参数x的值为xt，如下图所示：
现在问题转化为我们怎么更新参数x的值（当前为xt）使得其越来越靠近使得函数达到最小值的最优参数x。直观上看我们需要减小x的值，才能使得其越来越靠近最优参数。
现在我们求取y对参数x的导（当有多个参数时，为偏导），如下：
\[y’ = 2x
\]
由于xt>0，因此当我们代入xt到y’，我们可以发现在点xt处导数（梯度）为正值，所指方向为图中所示的梯度方向。很明显，我们不能随着梯度指示的方向更新参数x，而应该往梯度方向的负方向更新。如上图所示，很明显，应该减小x的值才能慢慢靠近最优解。因此，不难给出参数x的更新公式（即梯度下降的参数一般更新公式）如下（α为学习率）：
\[x_{t+1} = x_t – α * y'(x_t)
\]
我们来验证上述更新公式。
- 当x=xt（xt>0）（位于y轴右边），则在x处的导数也大于0，由更新公式，下一时刻的x会减少（如上图所示x=xt减少会越来越靠近最优解x=0）。
- 当x=-xt（xt>0）（位于y轴左边），则在x处的导数也小于0，代入更新公式，我们发现下一时刻x会增加（如上图所示x=-xt增加会越来越靠近最优解x=0）。因此推导出的梯度下降参数更新公式符合我们的目标。
- 因此不断对参数x对上述更新，最终x的值会慢慢靠近最优解x=0.
上述便是梯度下降法的原理了，只不过举的例子比较简单，多参数（如神经网络中的参数w和b）的可以类似推理。
一个注意点：假设我们现在处在x=xt这个点，若学习率α设置过大，虽然收敛速度可能会加快（每次跨步大），但是xt也可能会过度更新，即（一次性减得太多）可能会越过最优解（跑到最优解的左边），再一次更新的话也可能会再次越过最优解（一次性加得太多，跑到最优解的右边），emmm，就这样反复横跳，始终达不到最优解。另外，学习率设置太小的话，x虽然更可能达到最优解，但是算法收敛太慢（x的每一个跨步太短）。对于学习率的选择，可以按0.001、0.01、0.1、1.0这样子来筛选。
现在依次介绍三种类型的梯度下降法，批量梯度下降、随机梯度下降以及小批量梯度下降。 以下介绍均以Logistic回归模型的损失函数（凸函数）为例，如下：
\[z = w1x1+w2x2+b
\]
\[y_p = sigmoid(z)
\]
\[Loss(y_p,y_t) = -{1\over n}\sum_{i=1}^n (y_tlog(y_p)+(1-y_t)log(1-y_p))
\]
其中input = (x1,x2)为输入的训练样本。我们的目标是在训练样本集（假设有N个训练样本）上寻找最优参数w1、w2以及b使得损失函数在训练样本上达到最小的损失。（神经网络的训练过程过程就是输入训练样本，计算损失，损失函数反向对待更新参数求梯度，其次按照梯度下降法的参数更新公式朝着梯度反方向更新所有参数，如此往复，直到找到使得损失最小的最优参数或者达到最大迭代次数）（注意到损失函数上还有一个常量n我们没有解释，其实我觉得以下三个基于梯度下降的优化算法主要区别就是在n的取值上）
批量梯度下降（n=N的情况）
对于上述问题，批量梯度下降的做法是什么样的呢？其每次将整个训练样本集都输入神经网络模型，然后对每个训练样本都求得一个损失，对N个损失加权求和取平均，然后对待更新参数求导数，其次按照梯度下降法的参数更新公式朝着梯度反方向更新所有参数。通俗来讲就是每次更新参数都用到了所有训练样本（等价于上述损失公式中的n=N）。每一轮参数更新中，每个训练样本对参数更新都有贡献（每一个样本都给了参数更新一定的指导信息），因此理论上每一轮参数更新提供的信息是很丰富的，参数更新的幅度也是比较大的，使得参数更新能在少数几轮迭代中就达到收敛（对于凸优化问题能达到全局最优）。然而，对于大数据时代，训练样本可能有很多很多，每轮都是用那么多的样本进行参数更新的指导的话，更新一次（一次epoch）会非常非常久，这是这种方法的主要缺点。
随机梯度下降（n=1的情况）
对于上述优化问题，随机梯度下降(SGD)与批量梯度下降法的主要区别就是， SGD每一轮参数更新都只用一个训练样本来指导参数更新（n=1）。也就是说每次只计算出了某训练样本的损失，并进行反向传播指导参数更新。其优点是每一轮迭代的时间开销非常低（因为只用到了一个训练样本）。然而一个训练样本提供的信息可能比较局限，即其可能使得某次参数更新方向并不是朝着全局最优的方向（如噪声样本提供的信息可能就是错误的，导致其往偏离全局最优的方向更新），但是整体上是朝着全局最优的方向的。虽然随机梯度下降可能最终只能达到全局最优附近的某个值，但是相对于批量梯度下降来说最好的地方就是速度很快，因此基于精度和效率权衡，更常用的还是SGD。
小批量(mini-batch)梯度下降（n=num_batch）
小批量梯度下降是上述两种方法的一个折中，即既考虑精度也考虑了收敛速度。那么折中方法是怎么做的呢？首先小批量梯度需要设置一个批量的大小（假设是num_batch），然后每次选取一个批量的训练样本，计算得到num_batch个损失，求和取平均后反向传播来指导参数更新（n=num_batch）。通俗来说就是每一轮的参数更新我们既不是用上整个训练样本集（时间开销大），也不是只用一个训练样本（可能提供错误信息），我们是使用一个小批量的样本（1<n<N）来指导参数更新。虽然可能效果没有批量梯度下降法好，速度没有随机梯度下降法快，但是这种方法在精度和收敛速度上是一个很好的折中。因此，在深度学习中，用得比较多的一般还是小批量(mini-batch)梯度下降。
