题意:
给一个X * Y * Z 的立方体, 每个单位立方体内都有一盏灯, 初始状态是灭的, 你每次操作如下:
1)选择一个点(x1, y1, z1)
再选择一个点(x2, y2, z2)
将这两个点所形成的立方体内所有的灯全部转换状态(灭的变亮的, 亮的变灭的)
问, K次操作后, 亮着的灯的期望数目。
思路:
三维坐标系, 每个维度都是相互独立的, 所以可以分开计算再相乘。
考虑x轴, 对于每个点, 被选中的概率是多少:假设这个点左边有a个点,右边有b个点,
那么这个点不被选中的概率是p = 1.0 – ((x – 1) * (x – 1) – (a * a + b * b)) / x * x。
则,这个点在K次操作后被点亮的期望为:E = sigma C(k, i) * p * (1 – p) ^ (k – i),i为奇数, 因为i为偶数时灯是灭的。
这是二项展开式(p + (1 – p)) ^ k 的所有奇数项。
因此, E = ((p + (1 – p)) ^ k – (-p + (1 – p)) ^ k) / 2, 蓝色部分将所有的奇数项变成了负数, 偶数项不变, 相减后则成了两倍的奇数项之和。
代码:
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <ctime>
#include <set>
#include <map>
#include <list>
#include <queue>
#include <string>
#include <vector>
#include <fstream>
#include <iterator>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define LL long long
#define INF 0x3f3f3f3f
#define MOD 1000000007
#define eps 1e-6
#define MAXN 1000000
#define dd cout<<"debug"<<endl
#define p(x) cout<<x<<endl
int x, y, z, k;
double qpow(double x, int k)
{
double res = 1.0;
while(k)
{
if(k & ) res = res * x;
x = x * x;
k >>= ;
}
return res;
}
double get_p(int x, int n)
{
return 1.0 - ((x - ) * (x - ) * 1.0 + (n - x) * (n - x) * 1.0) * 1.0 / (n * n);
} int main()
{
int T;
int kcase = ;
scanf("%d", &T);
while(T --)
{
double ans = 0.0;
scanf("%d %d %d %d", &x, &y, &z, &k);
for(int i = ; i <= x; i ++)
for(int j = ; j <= y; j ++)
for(int g = ; g <= z; g ++)
{
double p = get_p(i, x) * get_p(j, y) * get_p(g, z);
ans += (1.0 - qpow( - 2.0 * p, k)) / 2.0;
}
printf("Case %d: %.7lf\n", ++kcase, ans);
}
return ;
}