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技术 2022年11月23日
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众所周知欧几里得算法是:

\[\gcd(a,b)=\gcd(b,a\bmod \,b)
\]

也叫辗转相除法。

拓展欧几里得算法(exgcd),可以用来找到形如 \(ax+by=\gcd(a,b)\) 的方程的一组特解

由裴蜀定理知,原方程一定有解。

我们利用辗转相除法(普通欧几里得算法)。

我们设 \(d=\gcd(a,b)\)。

我们可以知道,我们辗转相除法的边界是 \(a=d,b=0\),此时我们可以知道 \(a\) 就是最大公约数,我们还可以知道,在这时一定有一解为 \(x=1,y=0\),即 \(1\times a+0\times b=d\)。

我们知道 \(\gcd(a,b)=\gcd(b,a\mod b)\),如果我们可以推导出每一次的解 \(x\) 和 \(y\),与相除后的解 \(x’\) 和 \(y’\) 的关系;我们就可以算出其中的一个解了,(\(x\) 和 \(y\) 相当于是 \(a\) 和 $b \(的解,\)x’$ 和 \(y’\) 是 \(a\) 变成了 \(b\),\(b\) 变成了 \(a\mod b\) 时的解(辗转相除))。

轻易得知:

\(\begin{cases}
ax+by=d\\
bx’+(a\mod b)y’=d
\end{cases}\)

则:

\[\begin{aligned}
bx’+\left(a-b\left\lfloor\dfrac{a}{b}\right\rfloor\right)y’&=d\\
bx’+ay’-b\left\lfloor\dfrac{a}{b}\right\rfloor y’&=d\\
ay’+b(x’-\left\lfloor\dfrac{a}{b}\right\rfloor y’)&=d\\
\text{解得:}&\begin{cases}
x=y’\\y=x’-\left\lfloor\dfrac{a}{b}\right\rfloor y’
\end{cases}
\end{aligned}
\]

然后我们知道 \(x\) 与 \(x’\), \(y\) 与 \(y’\), 的关系后就可以求解了:

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
void exgcd(int a,int b,int& x,int& y) //x.y也可以用pair返回,这里用了引用
{
if (!b){x=1;y=0;return ;} //边界
gcd(b,a%b); //辗转相除
int tmp=y;y=x-(a/b)*y;x=tmp; //套公式
}
int main()
{
int a,b,x,y;
scanf("%d %d",&a,&b);
exgcd(a,b,x,y);
printf("%d %d",x,y);
return 0;
}

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