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技术 2022年11月23日
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我们先证正确性,再证复杂度

以下记$\left \langle i,j \right \rangle$为考虑$\left [ i,j \right ]$的点时的最优决策

$\left \langle i,j \right \rangle$由$\left \langle i,j-1 \right \rangle$转移的

先放棵树

csp-s模拟测试93T2口胡(蒟蒻的口胡大家显然就不用看了吧

那个橙色的就是$\left \langle i,j-1 \right \rangle$

此时根是其他任意一个点都不会比现在更优

现在我们要在这颗树上插入点$j$,

显然$j$是这颗树中最大的点

那么这个点只会被插入到图示绿色区域内

csp-s模拟测试93T2口胡(蒟蒻的口胡大家显然就不用看了吧

此时绿色区域中会有一个更深的点,

通过将绿色区域中某一点换为根可能会使答案变优,

但将白色区域的点换为根一定不优

所以$\left [\left \langle i,j-1 \right \rangle,j  \right ]$为$\left \langle i,j \right \rangle$的可行区间

同理$\left [i,\left \langle i+1,j \right \rangle  \right ]$为另一可行区间

有因为$\left \langle i,j-1 \right \rangle\geqslant i,\left \langle i+1,j \right \rangle\leq j$

所以$\left \langle i,j \right \rangle$的可行区间为:$$\left [ \left \langle i,j-1 \right \rangle,\left \langle i+1,j \right \rangle \right ]$$

然后是复杂度

考虑枚举每一个$len$

我们会更新$\left \langle i,j \right \rangle,\left \langle i+1,j+1 \right \rangle, \cdots$

在更新$\left \langle i,j \right \rangle$时

我们会用到$\left [\left \langle i,j-1 \right \rangle,\left \langle i+1,j \right \rangle  \right ]$

更新$\left \langle i+1,j+1 \right \rangle$时

我们会用到$\left [\left \langle i+1,j \right \rangle,\left \langle i+2,j+1 \right \rangle  \right ]$

所以一个点最多被用两次

枚举$len$是$\Theta (n)$的

所以总的来说是$\Theta (n^{2})$的

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