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技术 2022年11月23日
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Problem

Description

\(W\) 国的交通呈一棵树的形状。\(W\) 国一共有\(n — 1\)个城市和\(n\)个乡村,其中城市从\(1\)到\(n — 1\) 编号,乡村从\(1\)到\(n\)编号,且\(1\)号城市是首都。道路都是单向的,本题中我们只考虑从乡村通往首都的道路网络。对于每一个城市,恰有一条公路和一条铁路通向这座城市。对于城市 \(i\) ,通向该城市的道路(公路或铁路)的起点,要么是一个乡村,要么是一个编号比\(i\)大的城市。 没有道路通向任何乡村。除了首都以外,从任何城市或乡村出发只有一条道路;首都没有往 外的道路。从任何乡村出发,沿着唯一往外的道路走,总可以到达首都。

\(W\) 国的国王小 \(W\) 获得了一笔资金,他决定用这笔资金来改善交通。由于资金有限,小 \(W\) 只能翻修\(n — 1\)条道路。小 \(W\) 决定对每个城市翻修恰好一条通向它的道路,即从公路和铁 路中选择一条并进行翻修。小 \(W\) 希望从乡村通向城市可以尽可能地便利,于是根据人口调 查的数据,小 \(W\) 对每个乡村制定了三个参数,编号为\(i\)的乡村的三个参数是\(a_i\),\(b_i\)和\(c_i\)。假设 从编号为\(i\)的乡村走到首都一共需要经过\(x\)条未翻修的公路与\(y\)条未翻修的铁路,那么该乡村 的不便利值为

\[c_​i \cdot (a_​i + x) \cdot (b_​i + y)
\]

在给定的翻修方案下,每个乡村的不便利值相加的和为该翻修方案的不便利值。 翻修\(n — 1\)条道路有很多方案,其中不便利值最小的方案称为最优翻修方案,小 \(W\) 自然 希望找到最优翻修方案,请你帮助他求出这个最优翻修方案的不便利值。

Input Format

第一行为正整数\(n\)。

接下来\(n — 1\)行,每行描述一个城市。其中第\(i\)行包含两个数\(s_i,t_i\)。\(s_i\)表示通向第\(i\)座城市 的公路的起点,\(t_i\)表示通向第i座城市的铁路的起点。如果\(s_i > 0\),那么存在一条从第\(s_i\)座城 市通往第\(i\)座城市的公路,否则存在一条从第\(-s_i\)个乡村通往第i座城市的公路;\(t_i\)类似地,如 果\(t_i > 0\),那么存在一条从第\(t_i\)座城市通往第i座城市的铁路,否则存在一条从第\(-t_i\)个乡村通 往第\(i\)座城市的铁路。

接下来\(n\)行,每行描述一个乡村。其中第i行包含三个数\(a_i,b_i,c_i\),其意义如题面所示。

Output Format

输出一行一个整数,表示最优翻修方案的不便利值。

Sample

Input 1

6
2 3
4 5
-1 -2
-3 -4
-5 -6
1 2 3
1 3 2
2 1 3
2 3 1
3 1 2
3 2 1

Output 1

54

Input 2

9
2 -2
3 -3
4 -4
5 -5
6 -6
7 -7
8 -8
-1 -9
1 60 1
1 60 1
1 60 1
1 60 1
1 60 1
1 60 1
1 60 1
1 60 1
1 60 1

Output 2

548

Input 3

12
2 4
5 3
-7 10
11 9
-1 6
8 7
-6 -10
-9 -4
-12 -5
-2 -3
-8 -11
53 26 491
24 58 190
17 37 356
15 51 997
30 19 398
3 45 27
52 55 838
16 18 931
58 24 212
43 25 198
54 15 172
34 5 524

Output 3

5744902

Explanation

Explanation for Input 1

一种不便利值等于54的方法是:翻修通往城市2和城市5的铁路,以及通往其他城市的 公路。用→和⇒表示公路和铁路,用∗→和∗⇒表示翻修的公路和铁路,那么:

编号为1的乡村到达首都的路线为:-1 ∗→ 3 ⇒ 1,经过0条未翻修公路和1条未翻修铁 路,代价为3 × (1 + 0) × (2 + 1) = 9;

编号为2的乡村到达首都的路线为:-2 ⇒ 3 ⇒ 1,经过0条未翻修公路和2条未翻修铁 路,代价为2 × (1 + 0) × (3 + 2) = 10;

编号为3的乡村到达首都的路线为:-3 ∗→ 4 → 2 ∗→ 1,经过1条未翻修公路和0条未 翻修铁路,代价为3 × (2 + 1) × (1 + 0) = 9;

编号为4的乡村到达首都的路线为:-4 ⇒ 4 → 2 ∗→ 1,经过1条未翻修公路和1条未翻 修铁路,代价为1 × (2 + 1) × (3 + 1) = 12;

编号为5的乡村到达首都的路线为:-5 → 5 ∗⇒ 2 ∗→ 1,经过1条未翻修公路和0条未 翻修铁路,代价为2 × (3 + 1) × (1 + 0) = 8;

编号为6的乡村到达首都的路线为:-6 ∗⇒ 5 ∗⇒ 2 ∗→ 1,经过0条未翻修公路和0条未翻修铁路,代价为1 × (3 + 0) × (2 + 0) = 6;

总的不便利值为9 + 10 + 9 + 12 + 8 + 6 = 54。可以证明这是本数据的最优解。

Explanation for Input 2

在这个样例中,显然应该翻修所有公路。

Range

一共20组数据,编号为1 ∼ 20。 对于编号\(\le 4\)的数据,\(n \le 20\);

对于编号为5 ∼ 8的数据,\(a_i,b_i,c_i \le 5\),\(n \le 50\);

对于编号为9 ∼ 12的数据,\(n \le 2000\);

对于所有的数据,\(n \le 20000\),\(1 \le a_i,b_i \le 60\),\(1 \le c_​i \le 109\),\(s_i,t_i\)是\([-n,-1] \cup (i,n — 1]\)内的整数,任意乡村可以通过不超过40条道路到达首都。

Algorithm

\(DP\)

Mentality

\(HNOI2018\) 的 \(Day2T3……\) 一道据说许多人考场上看成神题的题目 \(QwQ\) 。

平心而论这道题确实也就那么难,顶天了 \(TG\ T2\) ,就是谁叫它放在 \(Day2T3\) 呢,造成了一系列误会 = = 。

那么我们看到题之后,发现了数据范围里最后一句表达的意思就是树的深度不超过 \(40\) ,于是难度进一步缩减 \(……\)

考虑倒推 \(DP\) ,我们设 \(f[i][A][B]\) 代表到了 \(i\) 节点,从 \(i\) 到根节点中有 \(A\) 条未翻修公路以及 \(B\) 条未翻修铁路,\(i\) 的子树中所有乡村到根节点的最小代价。那么 \(DP\) 式子其实就很简单了:

\[f[i][A][B]=min(f[ls][A+1][B]+f[rs][A][B],f[ls][A][B]+f[rs][A][B+1])
\]

向左儿子走会增加一条公路,这是 \(A+1\) 的由来,向右儿子走增加一条铁路,这是 \(B+1\) 的由来,而不增加的是选择翻修到那个儿子节点的路。

如果到达叶子节点,直接枚举计算式子结果。

接下来就只有一个问题了,那就是空间不够,但是由于我们每棵树只有两颗子树,所以我们先用 \(tmp\) 记录下其中一个子树的 \(DP\) 值,再处理另一颗子树,而我们的第一维 \(i\) ,则变成 \(deep[i]\) ,也即深度。

那么答案就是 \(f[1][0][0]\) ,确实蛮好弄的 \(……\)

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
int n,ls[20001],rs[20001];
long long f[42][42][42],tmp[42][42][42],a[20001],b[20001],c[20001];
void Save(int x,int A,int B)
{
for(int i=0;i<=A+1;i++)
for(int j=0;j<=B;j++)
tmp[x][i][j]=f[x][i][j];
}
void DP(int x,int deep,int A,int B)
{
if(x<0)
{
for(int i=0;i<=A;i++)
for(int j=0;j<=B;j++)
f[deep][i][j]=c[-x]*(a[-x]+i)*(b[-x]+j);//若为叶子节点处理 dp 值
return;
}
DP(ls[x],deep+1,A+1,B);
Save(deep+1,A+1,B);//先存下左子树的 dp 值
DP(rs[x],deep+1,A,B+1);
for(int i=0;i<=A;i++)
for(int j=0;j<=B;j++)
f[deep][i][j]=min(tmp[deep+1][i+1][j]+f[deep+1][i][j],f[deep+1][i][j+1]+tmp[deep+1][i][j]);//状态转移}
int main()
{
cin>>n;
for(int i=1;i<n;i++)
scanf("%d%d",&ls[i],&rs[i]);
for(int i=1;i<=n;i++)
scanf("%lld%lld%lld",&a[i],&b[i],&c[i]);
DP(1,1,0,0);
cout<<f[1][0][0];
}

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