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技术 2022年11月23日
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题目链接:###

矩阵分组


分析:###

这道题求的是两部分极差当中大的那个的最小值。对于这种求最值的问题,我们很自然(其实并没有)地想到二分答案。

这个题有两个结论

(好像当时看出来了第一个?然后发现下面都不会了,果断弃疗滚去写T3)

第一个结论:###

对于划分的每个区域,为了保证只拐一次弯,它每一行的长度是单调且连续的

这样任意两个元素之间拐个直角弯就能到了(x)

参见下图(从发的solution里面扒的):

这个结论可以感性得到(……),因为如果它每一行的长度不单调,就会有 凸 ←这种形状的东西出来,从它的一边到另外一边肯定是要拐至少两个弯的

第二个结论:###

矩阵A和矩阵B可以互换(即它们是等价的)

因为每个矩阵不管怎么讲总要占据一个角落(否则不满足结论1),所以先考虑A占据左上角的情况,然后把它旋转三次就能涵盖到所有情况。

二分一个值mid(mid=min(max(gmaxi1-gmini1,gmaxi2,gmini2)),其上界为矩阵中最大值-最小值,下界为0,这样最后的mid就是答案

对于check函数的思路:###

因为矩阵中最大值和最小值不能在一个区域,否则这个max(gmaxi1-gmini1,gmaxi2,gmini2)就会很大,所以我们不妨设tot_max在A区域

从第一行开始找到第一个(找第一个是为了保证单调)与tot_max差值大于mid的值,这时候就跳出循环(这里每一行的枚举不能超过上一行的边界),后面同理,处理出矩阵A,显然这个矩阵A一定是满足条件的

然后我们验证剩下的部分(即矩阵B)当中的极差是否小于等于mid即可


代码:###

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,x=1,x1=1,x2=n,x3=m,y=1,yy=n,y2=m,y3=1,t;
int tot_max=-(1<<20),tot_min=1<<20;
int a[4][2005][2005],endi[2005]; //endi中存储A矩阵每行的边界
inline int read(){
int cnt=0,f=1;char c;
c=getchar();
while(!isdigit(c)){
if(c=='-')f=-1;
c=getchar();
}
while(isdigit(c)){
cnt=cnt*10+c-'0';
c=getchar();
}
return cnt*f;
}
bool check(int kind,int x){
if(kind&1) swap(n,m); // 这里第二和第四个矩阵是分别顺时针逆时针旋转了90°的,所以行数和列数需要交换
endi[0]=m;
int tag;
for(register int i=1,j;i<=n;i++){
for(j=1;j<=endi[i-1];j++){
if(tot_max-a[kind][i][j]>x) //找到第一个与tot_max差值小于等于mid的值
break;
}
endi[i]=j-1;
}
for(register int i=1;i<=n;i++)
for(register int j=endi[i]+1;j<=m;j++) //处理第二个矩阵
if(a[kind][i][j]-tot_min>x){
if(kind&1) swap(n,m); //如果刚刚交换了n和m,为了下次check,这里需要换回来
return false;
}
if(kind&1) swap(n,m);
return true;
}
bool tot_check(int x){
if(check(0,x))return true;
if(check(1,x))return true;
if(check(2,x))return true;
if(check(3,x))return true;
return false;
}
int main(){
n=read();m=read();
x=1,x1=1,x2=n,x3=m,y=1,yy=n,y2=m,y3=1;
for(register int i=1;i<=n;i++){ //读入矩阵,读入的时候就可以顺手旋转成四个矩阵了(顺便这个旋转很巧妙啊)
for(register int j=1;j<=m;j++){
t=a[0][x][y++]=a[1][x1++][yy]=a[2][x2][y2--]=a[3][x3--][y3]=read();
if(t>tot_max)tot_max=t;
if(t<tot_min)tot_min=t;
}
x++,y=1,yy--,x1=1,x2--,y2=m,y3++,x3=m;
}int l=0,r=tot_max-tot_min;
int mid=(l+r)>>1;
while(l<r){
if(tot_check(mid)){
r=mid;
mid=(l+r)>>1;
}
else{
l=mid+1;
mid=(l+r)>>1;
}
}
printf("%d",mid);
return 0;
}

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