知识点: 广义 SAM

原题面 Luogu

「扯」

随便「口胡」一下居然「过」了。

比较考验「代码能力」，第一次感觉「大模拟」没有白写（（（

还有这个「符号」实在是太「上头」了。

前置知识

题意简述

给定 \(n\) 个仅包含小写字母的字符串 \(S_1\sim S_n\)。

定义字符串 \(S_i\) 的「独特值」为只属于该串的本质不同的非空子串的个数。

求字符串 \(S_1\sim S_n\) 的「独特值」。

\(1\le n\le 10^5, 1\le \sum|S_i|\le 10^5\)。

分析题意

算法一

多串子串问题，考虑广义 SAM。

若 \(n\) 较小，直接维护每个状态包含几个串的信息。

parent 树上 DP 更新祖先信息，直接更新答案即可。

但 \(n\le 10^5\) 空间爆炸，做不得，考虑乱搞一波。

算法二

用 string 存字符串，建广义 SAM。

在动态建立 SAM 时，\(\operatorname{only}_i\) 记录每个状态 \(i\) 包含哪一个串的信息。

若某状态包含多个串信息，则\(\operatorname{only}_i = – 1\)。

parent 树上 DP 更新祖先信息。

先考虑一波无脑暴力：

对于 \(S_i\)，枚举其所有子串，在 SAM 上跑出对应状态 \(u\)。

若有 \(\operatorname{only}_u\not = -1\)，对应状态只维护了一个串的信息，一定为该子串。

这样的子串数，即为 \(S_i\) 的「独特值」。

上述算法瓶颈是枚举子串。发现前缀有一些好性质：

连续前缀对应状态在 SAM 上也是连续的，实现时直接把串扔到 SAM 上跑即得对应状态。
前缀对应状态到 parent 树根的链上包含该前缀所有后缀，可以包含所有子串信息。

考虑仅枚举前缀，枚举复杂度变为线性。

发现一些结论：

parent 树上一条从叶到根的链，维护的串的个数，是单调不减的。
若某状态 \(i\) 的 \(\operatorname{only}_i\not = -1\)，则对于其子树中所有状态 \(j\)，有 \(\operatorname{only}_j=\operatorname{only}_i\)。

考虑维护状态 \(i\) 的 parent 树上距它最远的，\(\operatorname{only}\not= -1\) 的祖先 \(\operatorname{top}_i\)。

由结论 1，若某状态 \(i\) 的 \(\operatorname{only}_i=-1\)，\(\operatorname{top}_i=0\)。

由结论 2，跑到的 \(\operatorname{only}\not= – 1\) 的节点对答案有贡献，在其子树中所有节点都会有贡献。

可预处理子树 \(\operatorname{len}(i)-\operatorname{len}(\operatorname{link}(i))\) 之和 \(\operatorname{sum}\)，即某子树中的子串数量。

统计答案时，统计跑到的状态 \(u\) 的 \(\operatorname{sum}(\operatorname{top}_u)\)，一个 \(\operatorname{top}_u\) 只能统计一次，去重可用排序实现。

这样为什么是对的？考虑前缀的性质 2 感性理解一下。

每个串都在 SAM 上进行一匹配并进行一次排序，总复杂度大概是 \(O(\sum\limits_{i}^{n} |S_i|\log |S_i|)\)，可过。

算法三

瞅了一眼题解，发现自己做麻烦了。

DP 求得 \(\operatorname{only}\) 后，直接遍历所有状态，若存在 \(\operatorname{only}_i \not= -1\)，则令 \(ans _{\operatorname{only}_i}\) 加上 \(\operatorname{len}(i)-\operatorname{len}(\operatorname{link}(i))\)即可。

复杂度 \(O(\sum|S_i|)\)，少一个排序的复杂度。

爆零小技巧

前缀和没有加前缀的和。

你的前缀和既不前，也不缀，更不和。

代码实现

算法三

//知识点：SAM
/*
By:Luckyblock
*/
#include <algorithm>
#include <cctype>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <vector>
#define ll long long
const int kMaxn = 2e5 + 10;
const int kMaxm = 26;
//=============================================================
std :: string S[kMaxn];
int only[kMaxn << 1], ans[kMaxn];
int num, node_num = 1, ch[kMaxn << 1][kMaxm], len[kMaxn <<1], link[kMaxn << 1];
int edge_num, head[kMaxn], v[kMaxn << 1], ne[kMaxn << 1];
//=============================================================
inline int read() {
  int f = 1, w = 0;
  char ch = getchar();
  for (; !isdigit(ch); ch = getchar())
    if (ch == '-') f = -1;
  for (; isdigit(ch); ch = getchar()) w = (w << 3) + (w << 1) + (ch ^ '0');
  return f * w;
}
void AddEdge(int u_, int v_) {
  v[++ edge_num] = v_, ne[edge_num] = head[u_], head[u_] = edge_num;
}
int Insert(int c_, int last_) {
  if (ch[last_][c_]) {
    int p = last_, q = ch[p][c_];
    if (len[p] + 1 == len[q]) {
      only[q] = - 1;
      return q;
    }
    int newq = ++ node_num;
    memcpy(ch[newq], ch[q], sizeof(ch[q]));
    len[newq] = len[p] + 1;
    link[newq] = link[q];
    link[q] = newq;
    for (; p && ch[p][c_] == q; p = link[p]) ch[p][c_] = newq;
    only[newq] = num;
    return newq;
  }
  int p = last_, now = ++ node_num;
  only[now] = num;
  len[now] = len[p] + 1;
  for (; p && ! ch[p][c_]; p = link[p]) ch[p][c_] = now;
  if (! p) {link[now] = 1; return now;}
  int q = ch[p][c_];
  if (len[q] == len[p] + 1) {link[now] = q; return now;}
  int newq = ++ node_num;
  memcpy(ch[newq], ch[q], sizeof(ch[q]));
  link[newq] = link[q], len[newq] = len[p] + 1;
  link[q] = link[now] = newq;
  for (; p && ch[p][c_] == q; p = link[p]) ch[p][c_] = newq;
  return now;
}
void Dfs1(int u_) {
  for (int i = head[u_]; i; i = ne[i]) {
    Dfs1(v[i]);
    if (only[u_] == - 1) continue ;
    if (! only[u_]) {
      only[u_] = only[v[i]];
    } else if (only[u_] != only[v[i]]) {
      only[u_] = - 1;
    }
  }
}
//=============================================================
int main() {
  int T = read();
  for (num = 1; num <= T; ++ num) {
    std :: cin >> S[num];
    int n = S[num].length(), last = 1;
    for (int j = 0; j < n; ++ j) last = Insert(S[num][j] - 'a', last);
  }
  for (int i = 2; i <= node_num; ++ i) AddEdge(link[i], i);
  Dfs1(1);
  for (int i = 2; i <= node_num; ++ i) {
    if (only[i] != - 1) ans[only[i]] += len[i] - len[link[i]];
  }
  for (int i = 1; i <= T; ++ i) printf("%d\n", ans[i]);
  return 0;
}

算法二

//知识点：广义 SAM
/*
By:Luckyblock
*/
#include <algorithm>
#include <cctype>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <vector>
#define ll long long
const int kMaxn = 2e5 + 10;
const int kMaxm = 26;
//=============================================================
std :: string S[kMaxn];
int only[kMaxn << 1], top[kMaxn << 1], sum[kMaxn << 1];
int num, node_num = 1, ch[kMaxn << 1][kMaxm], len[kMaxn <<1], link[kMaxn << 1];
int edge_num, head[kMaxn], v[kMaxn << 1], ne[kMaxn << 1];
//=============================================================
inline int read() {
  int f = 1, w = 0;
  char ch = getchar();
  for (; !isdigit(ch); ch = getchar())
    if (ch == '-') f = -1;
  for (; isdigit(ch); ch = getchar()) w = (w << 3) + (w << 1) + (ch ^ '0');
  return f * w;
}
void AddEdge(int u_, int v_) {
  v[++ edge_num] = v_, ne[edge_num] = head[u_], head[u_] = edge_num;
}
int Insert(int c_, int last_) {
  if (ch[last_][c_]) {
    int p = last_, q = ch[p][c_];
    if (len[p] + 1 == len[q]) {
      only[q] = - 1;
      return q;
    }
    int newq = ++ node_num;
    memcpy(ch[newq], ch[q], sizeof(ch[q]));
    len[newq] = len[p] + 1;
    link[newq] = link[q];
    link[q] = newq;
    for (; p && ch[p][c_] == q; p = link[p]) ch[p][c_] = newq;
    only[newq] = num;
    return newq;
  }
  int p = last_, now = ++ node_num;
  only[now] = num;
  len[now] = len[p] + 1;
  for (; p && ! ch[p][c_]; p = link[p]) ch[p][c_] = now;
  if (! p) {link[now] = 1; return now;}
  int q = ch[p][c_];
  if (len[q] == len[p] + 1) {link[now] = q; return now;}
  int newq = ++ node_num;
  memcpy(ch[newq], ch[q], sizeof(ch[q]));
  link[newq] = link[q], len[newq] = len[p] + 1;
  link[q] = link[now] = newq;
  for (; p && ch[p][c_] == q; p = link[p]) ch[p][c_] = newq;
  return now;
}
void Dfs1(int u_) {
  for (int i = head[u_]; i; i = ne[i]) {
    Dfs1(v[i]);
    if (only[u_] == - 1) continue ;
    if (! only[u_]) {
      only[u_] = only[v[i]];
    } else if (only[u_] != only[v[i]]) {
      only[u_] = - 1;
    }
  }
}
void Dfs2(int u_, int top_) {
  if (! top_ && only[u_] != - 1) top_ = u_;
  top[u_] = top_;
  if (top_) sum[u_] += len[u_] - len[link[u_]];
  for (int i = head[u_]; i; i = ne[i]) {
    Dfs2(v[i], top_);
    sum[u_] += sum[v[i]];
  }
}
void Work(std :: string S_) {
  std :: vector <int> node;
  ll ans = 0;
  int n = S_.length(), now = 1;
  for (int i = 0; i < n; ++ i) {
    now = ch[now][S_[i] - 'a'];
    if (only[now] != - 1) node.push_back(top[now]);
  }
  std :: sort(node.begin(), node.end());
  for (int i = 0, n = node.size(); i < n; ++ i) {
    if (i != 0) {
      if (node[i] == node[i - 1]) continue;
    }
    ans += sum[node[i]];
  }
  printf("%lld\n", ans);
}
//=============================================================
int main() {
  int T = read();
  for (num = 1; num <= T; ++ num) {
    std :: cin >> S[num];
    int n = S[num].length(), last = 1;
    for (int j = 0; j < n; ++ j) last = Insert(S[num][j] - 'a', last);
  }
  for (int i = 2; i <= node_num; ++ i) AddEdge(link[i], i);
  Dfs1(1), Dfs2(1, 0);
  for (int i = 1; i <= T; ++ i) Work(S[i]);
  return 0;
}

P4081 [USACO17DEC]Standing Out from the Herd P

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算法二

算法三

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