Dijkstra、Bellman_Ford、SPFA、Floyd算法复杂度比较

参考

有空再更新下用c++， 下面用的Java

Dijkstra：适用于权值为非负的图的单源最短路径，用斐波那契堆的复杂度O(E+VlgV)

BellmanFord：适用于权值有负值的图的单源最短路径，并且能够检测负圈，复杂度O(VE)SPFA：适用于权值有负值，且没有负圈的图的单源最短路径，论文中的复杂度O(kE)，k为每个节点进入Queue的次数，且k一般<=2，但此处的复杂度证明是有问题的，其实SPFA的最坏情况应该是O(VE).Floyd：每对节点之间的最短路径。
先给出结论：(1)当权值为非负时，用Dijkstra。(2)当权值有负值，且没有负圈，则用SPFA，SPFA能检测负圈，但是不能输出负圈。(3)当权值有负值，而且可能存在负圈，则用BellmanFord，能够检测并输出负圈。(4)SPFA检测负环：当存在一个点入队大于等于V次，则有负环，后面有证明。
本文针对SPFA算法进行分析。

本文解决问题有：(1)证明SPFA算法最坏复杂度。(2)为什么存在一个点进入队列V次，就说图有负环。
SPFA是西安交通大学的段凡丁在1994年与《西安交通大学学报》中发表的“关于最短路径的SPFA快速算法”，他在里面说SPFA速度比Dijkstra快，且运行V次的SPFA速度比Floyd速度快，当时我就产生了疑惑：为什么他这么快，在一些经典的书籍中都没有出现过，也没被提及过。事实证明SPFA算法是有局限的，他不适用于稠密图，对于特别情况的稠密图，SPFA复杂度和BellmanFord时间一样。
最优时间复杂度先不看。
下面来证明SPFA最坏时间复杂度：
思路：(1)找出SPFA的最最坏到不可能的情况的复杂度为O(VE)。(2)找出SPFA确实有图，使得跑SPFA的复杂度为O(VE)。

我原本想举一个例子来说明SPFA存在O(VE)的情况，但是确实，最坏情况复杂度是不能用举例说明的，谢谢TianMingBu老师的指出。

证明如果有负环当且仅当存在一个点入队列次数大于等于V次。
对于某个点v，我们已知s到v的松弛路径的边的数量最多为V-1。我这里说的松弛路径指的是：比如s直接松弛v，这样就有一条松弛路径：s->v 。s松弛a，a松弛v，则s->a->v就是一条松弛路径。
对于所有s到v的松弛路径来说，当松弛路径边的数量相等时，v只入队一次。比如有松弛路径：s->a->x->vs->b->x->vs->c->z->v，可以看出v只入队一次。因为s到v的松弛路径的长度最多可以有V-1种变化，所以v最多入队V-1次。
举个例子：
假设有一个图，点集为{s,a,b,c,v}，则最多可能的松弛路径有：s->vs->a->vs->b->vs->c->vs->a->b->vs->a->c->vs->b->c->vs->a->b->c->v
则松弛路径的边数变化有1,2,3,4，所以v入队为4次，即V-1次。

所以我们可以说每个点最多入队V-1次，因此我们求最坏情况为每个点都入队V-1次，所以此时：

这里举个最坏情况的例子。

当然我们可能考虑，当给定一个V的值，E的值，比如E=2V，怎么给出一个图，使得对此图运行SPFA算法的复杂度为O(VE).我们这里假定图是连通的，所以E>=V-1。
方法如下：(1)我们首先将图组成一个链，即如下图所示：

这样就用去了V-1条边。(2)分别添加v0连向v2,v3,….vk的边，我们要添加的这些边的权值要满足v0先更新vk,v0更新vk-1后vk-1还能更新vk，以此类推，如下图所示：
(3)以vk,vk-1,…..v1的顺序添加权值为正无穷的自环，且不断循环，这个步骤是为了保持v1到vk点的出度保持一致，所以这样做，如下图：

这样我们就构造了一个能够让SPFA跑出O(VE)的图了，原因如下：
因为我们E的值和V的值是不确定的，所以很有可能不能够完成上述的这些构造，我们会分析当没有剩余的边构造上面的步骤(2)时的复杂度（也就是说E<=2V-3，因为第一步连成一个链需要V-1条边，而第二步v0连出去的边需要V-2），和有足够的边能构造上面的图这两种情况。
(1)如果E<=2V-3
因为E<=2V-3，所以E=O(V)，所以只要能够求出复杂度是O(V^2)，即可说为O(VE).我们要计算所有点的入队次数和访问的边数。
V0出度为 E-V+2，V0入队1次。V1出度为1，V1入队为1次。V2出度为1，V2入队为2次（分别为v0松弛v2，v1松弛v2）。V3出度为1，V3入队为3次。….V(e-v+2)出度为1，入队次数为(E-V+2)次。后面V(e-v+3),V(e-v+4),…..V(k-1)的出度为1，入队次数为E-V+2次。 这些点的个数为V-(E-V+3)-1 = 2V-E-4。vk出度为0，vk入队为E-V+2次。
所以总共的访问的边数为：

(2)如果E>2V-3
此时构造图的第二步已经完毕，所以后面剩余的边只需要不断添加自环保持出度平衡即可。
V0出度为V-1，入队1次。V1到Vk出度为(E-V+2)/(V-1) 或(E-V+2)/(V-1)+1。v1到vk的入队次数分别为1,2,3,…..V-1。
所以总共访问边数为：

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1. package C24;
2. import java.util.Iterator;
3. import java.util.LinkedList;
4. import java.util.List;
5. import C22.GraphFactory;
6. import C22.Pair;
7. import C22.Weighted_Adjacent_List;
8. public class SPFA {
9. public int[] spfa(Weighted_Adjacent_List G,String s){
10. return spfa(G,G.getVertexIndex(s));
11. }
12. public int[] spfa(Weighted_Adjacent_List G,int s){
13. //1.创建所要的数据结构
14. int size = G.getSize();
15. int d[] = new int[size];    //距离估计
16. for(int i=0;i<d.length;i++){
17. d[i] = Integer.MAX_VALUE;
18. }
19. List<Integer> Q = new LinkedList<Integer>();
20. boolean is_in_queue[] = new boolean[size];  //是否在队列中
21. for(int i=0;i<is_in_queue.length;i++){
22. is_in_queue[i] = false;
23. }
24. //2.初始化
25. d[s] = 0;
26. Q.add(s);
27. is_in_queue[s] = true;
28. //3.核心
29. while(!Q.isEmpty()){
30. int u = Q.remove(0);
31. is_in_queue[u] = false;
32. List<Pair> list = G.getListByVertexIndex(u);
33. Iterator<Pair> iter = list.iterator();
34. while(iter.hasNext()){
35. Pair vstr = iter.next();
36. int v = G.getVertexIndex(vstr.end);
37. if(d[v]>d[u]+vstr.weight){
38. d[v] = d[u] + vstr.weight;
39. if(!is_in_queue[v]){    //如果松弛的点不在队列中，则加入队列；如果在队列中，则不动
40. Q.add(v);
41. is_in_queue[v] = true;
42. }
43. }
44. }
45. }
46. return d;
47. }
48. public static void main(String[] args) throws Exception {
49. SPFA spfa_alg = new SPFA();
50. Weighted_Adjacent_List g = GraphFactory.getWeightedAdjacentListInstance("input\\weighted_graph.txt");
51. int[] d = spfa_alg.spfa(g,"s");
52. for(int i=0;i<d.length;i++){
53. System.out.println(g.getVertexValue(i)+":"+d[i]);
54. }
55. }
56. }

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