【[SCOI2010]生成字符串】

\(n=m\)时候经典的卡特兰

那\(n!=m\)呢，还是按照卡特兰的方式来推

首先总情况数就是\(\binom{n+m}{n}\)，在\(n+m\)个里选择\(n\)个\(1\)

显然有不合法的情况，减掉它们

对于一种不合法的情况，必然存在一个前缀\(0\)的个数比\(1\)多\(1\)

我们考虑构造出一个由\(n+1\)个\(1\)和\(m-1\)个\(0\)组成的序列，其必然存在一个前缀使得\(1\)的个数比\(0\)多\(1\)

于是就能一一对应了

也可以这样理解，对于每一个不合法的情况，找到第一个不合法的前缀，将其取反，之后就会得到一个\(n+1\)个\(1\)和\(m-1\)个\(0\)组成的字符串，还是可以一一对应

答案就是\(\binom{n+m}{n}-\binom{n+m}{n+1}\)

代码

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#define LL long long
#define re register
#define maxn 1000005
const LL mod=20100403;
LL n,m,fac[maxn*2];
inline int read()
{
char c=getchar();
int x=0;
while(c<'0'||c>'9') c=getchar();
while(c>='0'&&c<='9')
x=(x<<3)+(x<<1)+c-48,c=getchar();
return x;
}
LL exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
{
if(!b) return x=1,y=0,a;
LL r=exgcd(b,a%b,y,x);
y-=a/b*x;
return r;
}
inline LL inv(LL a)
{
LL x,y;
LL r=exgcd(a,mod,x,y);
return (x%mod+mod)%mod;
}
inline LL C(LL n,LL m)
{
if(m>n) return 0;
return (fac[n])*inv(fac[m]*fac[n-m]%mod)%mod;
}
int main()
{
n=read(),m=read();
fac[0]=1;
for(re int i=1;i<=n+m;i++) fac[i]=(fac[i-1]*i)%mod;
printf("%lld\n",(C(n+m,n)-C(n+m,n+1)+mod)%mod);
return 0;
}