Gym – 101002K：YATP （树分治+二分+斜率优化）

题意：给定带点权边权的树，定义路径的花费=路径边权和e+起点点权w[s]*终点点权w[t]。N<2e5，e,w<1e6；

思路：首先，需要树分治。 然后得到方程dp[i]=min{ dis[i]+dis[j]+w[i]*w[j] }，很显然需要斜率优化。

注意维护凸包的时候是需要保证w[j]是单调的，这样才能用不等式维护队尾。  由于w[i]不是对应的队尾，所以我们还要二分凸包。

还有个问题，怎么确定我们得到的i和j不是在同一个子树呢？ 因为如果在一颗子树的时候dp[i]=dis[i]+dis[j]+w[i]*w[j]-2*dis[LCA]。 其实没必要考虑这个问题，因为当LCA为根的时候会更新答案。（这一点想不到估计要很难去维护了）

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
using namespace std;
const int maxn=;
int Laxt[maxn],Next[maxn],To[maxn],Len[maxn],cnt;
int sz[maxn],son[maxn],rt,all,vis[maxn],S[maxn],tot;
ll ans[maxn],a[maxn],dis[maxn],sum; int q[maxn],top;
bool cmp(int x,int y)
{
    int xx=x,yy=y;
    if(a[xx]==a[yy]) return dis[xx]<dis[yy];
    return a[xx]<a[yy];
}
ll getans(int p,int k)
{
    return dis[k]+dis[p]+a[p]*a[k];
}
void add(int u,int v,int w)
{
    Next[++cnt]=Laxt[u]; Laxt[u]=cnt; To[cnt]=v; Len[cnt]=w;
}
void dfs1(int u,int f)
{
    sz[u]=; son[u]=;
    for(int i=Laxt[u];i;i=Next[i]){
         if(To[i]!=f&&!vis[To[i]]) {
            dfs1(To[i],u);
            sz[u]+=sz[To[i]];
            son[u]=max(son[u],sz[To[i]]);
         }
    }
    son[u]=max(son[u],all-son[u]);
    if(son[u]<son[rt]) rt=u;
}
void cal(int p)
{
    if(top==) return ;int L=,R=top-,Mid;
    ans[p]=min(ans[p],getans(p,q[top]));
    while(L<=R){
        Mid=(L+R)>>;
        ll tmp1=getans(p,q[Mid]),tmp2=getans(p,q[Mid+]);
        if(tmp1<tmp2) R=Mid-,ans[p]=min(ans[p],tmp1);
        else L=Mid+,ans[p]=min(ans[p],tmp2);
    }
}
void get(int u,int f)
{
    cal(u);
    for(int i=Laxt[u];i;i=Next[i])
     if(To[i]!=f&&!vis[To[i]]) get(To[i],u);
}
bool check(int p){
    return (dis[p]-dis[q[top]])*(a[p]-a[q[top-]])<=
     (dis[p]-dis[q[top-]])*(a[p]-a[q[top]]);
}
void ADD(int p)
{
    if(top&&a[p]==a[q[top]]&&dis[p]<dis[q[top]]) top--;
    while(top>&&check(p)) top--;
    q[++top]=p;
}
void get(int u,int f,ll D)
{
    dis[u]=D; sz[u]=; S[++tot]=u;
    for(int i=Laxt[u];i;i=Next[i])
      if(To[i]!=f&&!vis[To[i]]){
         get(To[i],u,D+Len[i]);
         sz[u]+=sz[To[i]];
      }
}
void solve(int u,int f)
{
    vis[u]=; dis[u]=;
    top=; tot=; S[++tot]=u;
    for(int i=Laxt[u];i;i=Next[i]){
        if(!vis[To[i]]&&To[i]!=f)
           get(To[i],u,Len[i]);
    }
    sort(S+,S+tot+,cmp);
    rep(i,,tot) ADD(S[i]);
    rep(i,,tot) cal(S[i]);
    for(int i=Laxt[u];i;i=Next[i]){
        int v=To[i];
        if(!vis[v]&&v!=f) {
            all=sz[v]; rt=;
            dfs1(v,); solve(rt,);
        }
    }
}
int main()
{
    int N,u,v,w;
    scanf("%d",&N); son[]=N+;
    rep(i,,N) scanf("%lld",&a[i]);
    rep(i,,N) ans[i]=a[i]*a[i];
    rep(i,,N-){
        scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
        add(u,v,w); add(v,u,w);
    }
    all=N; rt=;
    dfs1(,); solve(rt,);
    rep(i,,N) sum+=ans[i];
    printf("%lld\n",sum);
    return ;
}