动态规划精讲（一）LC 最长递增子序列的个数

最长递增子序列的个数

给定一个未排序的整数数组，找到最长递增子序列的个数。

示例 1:

输入: [1,3,5,4,7]
输出: 2
解释: 有两个最长递增子序列，分别是 [1, 3, 4, 7] 和[1, 3, 5, 7]。
示例 2:

输入: [2,2,2,2,2]
输出: 5
解释: 最长递增子序列的长度是1，并且存在5个子序列的长度为1，因此输出5。

思路：

思路
我们需要定义两个vector数组：

vector<int> dp(n,1): 表示以nums[i]结尾的LIS长度
vector<int> count(n,1): 表示以nums[i]结尾的LIS的组合的个数
这里两个数组全部初始化为1,显然当序列长度为1时,LIS的长度为1,并且所有LIS的个数至少为1(不可能为零)

两重循环遍历

第一重用i扫描(1 <= i < nums.size())
第二重用j扫描(0 <= j < i)
显然 j 永远小于 i

若要LIS成立，我们只要考虑nums[j] < nums[i]的情况，其他情况则不考虑

(1)当dp[j]+1 > dp[i]时,意味着我们第一次找到这个组合
(2)当dp[j]+1 == dp[i]时,意味着我们不是第一次找到这个组合

当我们遇到情况(1)时(dp[j]+1 > dp[i]),只需要将LIS的长度加一，并且将组合数设为与nums[j]一样即可

当我们遇到情况(2)时(dp[j]+1 == dp[i]),只需要将nums[j]的组合数添加上去即可

注意以上两种情况都是基于(nums[j] < nums[i])

最后我们返回所有LIS的所有组合数

class Solution {
public:
    int findNumberOfLIS(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        if(n<=0) return n;
        vector<int> dp(n, 1);
        vector<int> count(n,1);        for(int i=1; i<n; i++) {
            for(int j=0; j<i; j++) {
                if(nums[j] < nums[i]) {
                    // 第一次找到
                    if(dp[j]+1 > dp[i]) {
                        dp[i] = dp[j] + 1;
                        count[i] = count[j];
                    // 再次找到
                    } else if(dp[j]+1 == dp[i]) {
                        count[i] += count[j];
                    }
                }
            }
        }
        // 最后的返回值应该是所有最大长度的所有count的总和
        int max = *max_element(dp.begin(), dp.end());
        int res = 0;
        for(int i=0; i<n; i++) {
            if(dp[i] == max)
                res += count[i];
        }        return res;    }
};