★ 引子
原本打算一篇文章讲完，后来发现篇幅会很大，所以拆成两部分，先讲原理，再讲实现。实现的话相对复杂，要用到内联汇编，要考虑不同平台等等。
在大整数计算中，乘法是非常重要的，因为在公钥密码学中模幂运算要频繁使用乘法，所以乘法的性能会直接影响到模幂运算的效率。下面将会介绍两种乘法：基线乘法和 Comba 乘法，尽管他们的原理和计算看起来十分类似，而且算法的时间复杂度都是 O(n^2)，但是他们的效率差别是很大的。
★ 基线乘法 （Baseline Multiplication）
基线乘法是 Bignum Math 一书中的一个术语，这里直接拿来用。实际上基线乘法就是通常所说的笔算乘法。先来看看计算 123 * 456 用笔算乘法应怎么做：
1 2 3
x 4 5 6
———————————————–
7 3 8
6 1 5
4 9 2
————————————————
5 6 0 8 8
在笔算算法中，第二个数的每一位分别与第一个数的每一个位相乘，并且将进位传递到下一位，比如 3 * 6 = 18 保留本位 8，进位 1 传递到下一位。按照笔算的原理，很容易得到基线乘法的算法思路：
设大整数 x 和 y 分别有 x->used 和 y->used 个数位，进位 c，相乘结果放在 z 中，算法的步骤是：
1. 对于下标 i，从 0 到 x->used + y->used – 1 循环，将 z 中每一个数位清 0。其实就是把 z 设为 0。
2. 对于下标 i，从 0 到 y->used – 1 循环，执行如下几个操作：
2.1 c = 0
2.2 对于下标 j，从 0 到 x->used – 1循环计算：（注：i，j 都是从 0 开始的，r 是一个双精度变量）
r = z(i + j) + x(j) * y(i) + c。其中 z(i + j)，x(j)，y(i) 分别表示 z 的第 i + j + 1个数位，x 的第 j + 1 个数位，y 的第 i +1 个数位。
z(i + j) = r & BN_MASK //取 r 的低半部分作为 z(i + j) 的本位。
c = r >> biL //取 r 的高半部分作为进位 c。
2.3 z(i + x->used) = c
3. 返回结果 z。
根据上面的算法思路，便可以写出基线乘法，C 代码如下：
int bn_baseline_mul(bignum * z, const bignum *x, const bignum *y)
{
int ret;
bn_udbl r;
size_t i, j, c;
size_t *px, *py, *pz;
bignum ta[1], tb[1]; bn_init(ta);
bn_init(tb); if(x == z)
{
BN_CHECK(bn_copy(ta, x));
x = ta;
}
if(y == z)
{
BN_CHECK(bn_copy(tb, y));
y = tb;
} BN_CHECK(bn_grow(z, x->used + y->used));
BN_CHECK(bn_set_word(z, 0));
z->used = x->used + y->used; for(i = 0; i < y->used; i++)
{
c = 0; px = x->dp;
py = y->dp + i;
pz = z->dp + i; for(j = 0; j < x->used; j++)
{
r = (*pz) + (bn_udbl)(*px++) * (*py) + c;
*pz++ = (bn_digit)r;
c = (bn_digit)(r >> biL);
} *pz = c;
} z->sign = x->sign * y->sign;
bn_clamp(z);clean:
bn_free(ta);
bn_free(tb); return ret;
}
上面的代码中 ta，tb 临时变量是为了处理类似 x = x * y，y = x * y，x = x * x 之类的输入和输出是同一个变量的情况，因为在计算中，z 会先被置 0，如果不用临时变量存储 x 或 y，则 x 或 y 的值就会被改变。要注意的是这个乘法并没有考虑到没有双精度变量的情况，如果在 64 位的环境下，没有 128 bit 的双精度类型，则处理起来要复杂很多，这里暂时不讲，下一篇会慢慢讨论。
★ Comba 乘法 （Comba Multiplication）原理
Comba 乘法以（在密码学方面）不太出名的 Paul G. Comba 得名。上面的笔算乘法，虽然比较简单， 但是有个很大的问题：在 O(n^2) 的复杂度上进行计算和向上传递进位，看看前面的那个竖式，每计算一次单精度乘法都要计算和传递进位，这样的话就使得嵌套循环的顺序性很强，难以并行展开和实现。Comba 乘法则无需进行嵌套进位来计算乘法，所以虽然其时间复杂度和基线乘法一样，但是速度会快很多。还是以计算 123 * 456 为例：
1 2 3
x 4 5 6
———————————————–
6 12 18
5 10 15
4 8 12
————————————————
4 13 28 27 18
4 13 28 28 8
4 13 30 8
4 16 0
5 6
0 5
——————————————————
5 6 0 8 8
和普通的笔算乘法很类似，只是每一次单精度乘法只是单纯计算乘法，不计算进位，进位留到每一列累加后进行。所以原来需要 n * n 次进位，现在最多只需要 2n 次即可。
以上就是 Comba 乘法的原理，不过这里有个比较严重的问题：如何保证累加后结果不溢出。上面的例子，假设单精度数 1 位数，双精度是两位数，那万一累加后的结果超过两位数则么办？那没办法，只能用三精度变量了。在大整数算法中，单精度能表示的最大整数是 2^n – 1（n 是单精度变量的比特数），用三个单精度变量 c2，c1，c0 连在一起作为一个三精度变量（高位在左，低位在右），则 c2 || c1 || c0 能表示的最大整数是 2^(3n) – 1，最多能存放 (2^(3n) – 1) / ((2^n – 1)^2) 个单精度乘积结果。当 n = 32 时，能够存放 4294967298 个单精度乘积结果；当 n = 64 时，能够存放约 1.845 * 10^19 个单精度乘积结果，而我一开始规定 bignum 不能超过 25600 个数位，这样使用三精度变量就可以保证累加结果不会溢出了。
有了上面的铺垫，下面就把 Comba 乘法的思路列出来：
计算 c = a * b，c0，c1，c2 为单精度变量。
1. 增加 c 到所需要的精度，并且令 c = 0，c->used = a->used + b->used。
2. 令 c2 = c1 = c0 = 0。
3. 对于 i 从 0 到 c->used – 1 循环，执行如下操作：
3.1 ty = BN_MIN(i, b->used – 1)
3.2 tx = i – ty
3.3 k = BN_MIN(a->used – tx, ty + 1)
3.4 三精度变量右移一个数位：(c2 || c1 || c0) = (0 || c2 || c1)
3.5 对于 j 从 0 到 k – 1 之间执行循环，计算：
(c2 || c1 || c0) = (c2 || c1 || c0) + a(tx + j) * b(ty – j)
3.6 c(i) = c0
4. 压缩多余位，返回 c。
BN_MIN 是宏定义：#define BN_MIN(x, y) (((x) < (y)) ? (x) : (y))
以上就是 Comba 乘法的思路，先计算每一列，然后求和累加，将累加结果求余数得到本位，进位传递到下一列。
第三步中，分别计算 tx， ty 和 k 的值，用于控制列的计算，光这么说比较抽象，所以还是举个例子比较直观。假设要计算 12345 * 678。
Index i: 6 5 4 3 2 1 0
———————————————————————–
1 2 3 4 5
x 6 7 8
———————————————————————–
8 16 24 32 40
7 14 21 28 35
6 12 18 24 30
2 4 6 8 7 4 0
————————————————————————
8 3 6 9 9 1 0
过程：a->used = 5， b->used = 3
i = 0，ty = 0，tx = i – ty = 0，a->used – tx = 5，ty + 1 = 1，k = 1，循环计算第一列：5 * 8 = 40
i = 1，ty = 1，tx = i – ty = 0，a->used – tx = 5，ty + 1 = 2，k = 2，循环计算第二列：5 * 7 = 35，4 * 8 = 32
i = 2，ty = 2，tx = i – ty = 0，a->used – tx = 5，ty + 1 = 3，k = 3，循环计算第三列：5 * 6 = 30，4 * 7 = 28，3 * 8 = 24
i = 3，ty = 2，tx = i – ty = 1，a->used – tx = 4，ty + 1 = 3，k = 3，循环计算第四列：4 * 6 = 24，3 * 7 = 21，2 * 8 = 16
i = 4，ty = 2，tx = i – ty = 2，a->used – tx = 3，ty + 1 = 3，k = 3，循环计算第五列：3 * 6 = 18，2 * 7 = 14，1 * 8 = 8
i = 5，ty = 2，tx = i – ty = 3，a->used – tx = 2，ty + 1 = 3，k = 2，循环计算第六列：2 * 6 = 12，1 * 7 = 7
i = 6，ty = 2，tx = i – ty = 4，a->used – tx = 1，ty + 1 = 3，k = 1，循环计算第七列：1 * 6 = 6
可以看出，Comba 乘法每一次都是计算一列，所以如果想进行并行计算的话，那会方便很多：同时计算所有列并累加，最后进行一次进位传递。
前面提到基线乘法和 Comba 乘法的时间复杂度是一样的，这是对于单精度乘法而言，Comba 乘法之所以要比基线乘法快，主要是因为减少了进位传递的次数，所以减少了加法的计算量。
★ 总结
篇幅好像有点长了，所以暂时写到这里。说了这么多，其实关键就是：都是使用笔算乘法，基线乘法计算每一行的结果，在累加的同时计算进位，Comba 乘法则按列计算，先累加，然后传递进位，减少了计算量，所以速度快。这次先把 Comba 乘法的原理讲清楚，下一篇文章讲讲讲如何实现 Comba 乘法，包括在没有双精度的环境下和在 x86 环境下使用内联汇编优化速度。
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