[POI 2014]RAJ-Rally

Description

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给定一个 \(N\) 个点 \(M\) 条边的有向无环图，每条边长度都是 \(1\)。请找到一个点，使得删掉这个点后剩余的图中的最长路径最短。

\(1\leq N\leq 500 000,1\leq M\leq 1 000 000\)

Solution

比较神…

值得注意的是，对于一张 \(\text{DAG}\) 的拓扑序，任意从中截断那么前一部分以及后一部分的点都是连续的。

考虑按拓扑序来做，我们需要维护的就只是左边一部分内的最长路，以及右边一部分内的最长路。

除此之外还要维护经过被“割开”边的最长路。

对于删除一个点，我们需要做的就是将“割边”转移，维护上述需要维护的信息。

可以用可删除的堆来实现，不过考虑到空间的花销，用权值线段树可以实现同样的功能。

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 500000+5, inf = ~0u>>1;int n, m, u, v, c1[N], c2[N], q[N];
struct graph {
    struct tt {int to, next; }edge[N<<1];
    int path[N], top, in[N];
    void add(int u, int v) {edge[++top] = (tt){v, path[u]}, path[u] = top, ++in[v]; }
    void topsort(int* c, int flag) {
        queue<int>Q; int cnt = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++) if (!in[i]) Q.push(i);
        while (!Q.empty()) {
            int u = Q.front(); Q.pop(); if (flag) q[++cnt] = u;
            for (int i = path[u]; i; i = edge[i].next) {
                --in[edge[i].to]; c[edge[i].to] = max(c[edge[i].to], c[u]+1);
                if (in[edge[i].to] == 0) Q.push(edge[i].to);
            }
        }
    }
}g1, g2;
struct Segment_tree {
#define lr(o) (o<<1)
#define rr(o) (o<<1|1)
    int mx[N<<2], cnt[N<<2];
    Segment_tree() {memset(mx, -1, sizeof(mx)); }
    void modify(int o, int l, int r, int loc, int key) {
        if (l == r) {
            cnt[o] += key;
            if (cnt[o] == 1) mx[o] = l;
            else if (cnt[o] == 0) mx[o] = -1;
            return;
        }
        int mid = (l+r)>>1;
        if (loc <= mid) modify(lr(o), l, mid, loc, key);
        else modify(rr(o), mid+1, r, loc, key);
        mx[o] = max(mx[lr(o)], mx[rr(o)]);
    }
}T;void work() {
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        scanf("%d%d", &u, &v); g1.add(u, v), g2.add(v, u);
    }
    g1.topsort(c1, 1), g2.topsort(c2, 0);
    int ans = inf, pos;
    for (int i = 1; i <= n; i++) T.modify(1, 0, n, c2[i], 1);
    for (int id = 1; id <= n; id++) {
        int u = q[id];
        for (int i = g2.path[u]; i; i = g2.edge[i].next)
            T.modify(1, 0, n, c2[u]+c1[g2.edge[i].to]+1, -1);
        T.modify(1, 0, n, c2[u], -1);
        if (T.mx[1] < ans) ans = T.mx[1], pos = u;
        for (int i = g1.path[u]; i; i = g1.edge[i].next)
            T.modify(1, 0, n, c1[u]+c2[g1.edge[i].to]+1, 1);
        T.modify(1, 0, n, c1[u], 1);
    }
    printf("%d %d\n", pos, ans);
}
int main() {work(); return 0; }