笔者昨天看电视，偶尔看到一集讲述古罗马人与犹太人的战争——马萨达战争，深为震撼，有兴趣的同学可以移步：http://finance.ifeng.com/a/20170627/15491157_0.shtml .
这不仅让笔者想起以前在学数据结构时碰到的Josephus问题：
据说著名犹太历史学家 Josephus有过以下的故事：在罗马人占领乔塔帕特后，39 个犹太人与Josephus及他的朋友躲到一个洞中，39个犹太人决定宁愿死也不要被敌人找到，于是决定了一个自杀方式，41个人排成一个圆圈，由第1个人开始报数，每报数到第3人该人就必须自杀，然后再由下一个重新报数，直到所有人都自杀身亡为止。然而Josephus 和他的朋友并不想遵从，Josephus要他的朋友先假装遵从，他将朋友与自己安排在第16个与第31个位置，于是逃过了这场死亡游戏。
以前我们都是用链表的方法编程来解决这个问题的，这次笔者将会讲述两个不同的方法，一个是笔者自己的朴素想法，一个是数学方法。
- 朴素方法
- 数学方法
首先我们先将Josephus问题描述出来，即： 共有N个人围成一圈，编号分别为1,2,…,N,从第一个人开始从1到m报数，报到m的人退出，如此循环下去，直至最后一个人。问最后一个人的最开始的编号是几？
先是笔者的朴素想法。
将N个人储存在列表（list）中，每次报到m的元素剔除，并记录下最后一个人报的数i，然后将缩短后的数组从i+1报数，如此循环下去，直至列表的长度为1，这样剩下来的元素就是我们要求的答案。
这种想法虽然素朴，比较容易实现，但是时间复杂度为O(Nm).
接着是数学方法。
假设一开始的Josephus环编号为0,1,2,…,N-1.我们知道第一个人(编号一定是m%N-1) 出列之后，剩下的N-1个人组成了一个新的Josephus环（以编号为k=m%n的人开始）:
\[k, k+1, k+2,……, n-2, n-1, 0, 1, 2, … k-2
\]
并且从k开始报0.
现在我们把他们的编号做一下转换：
\[k –> 0\\
k+1 –> 1\\
k+2 –> 2\\
…\\
k-2 –> n-2\\
k-1 –> n-1\]
变换后就成为了(N-1)个人报数的子问题，这启示我们可以用归纳法来解决这个问题。假如我们知道这个子问题的解为\(x\)，原来问题的答案为\(x^{‘}\),则\(x^{‘}=(x+k)\%n.\)因此，递推公式就有了！令\(f(i)\)表示\(i\)个人玩游戏报\(m\)退出最后胜利者的编号，我们要求的结果是\(f(N)\)，其递推公式如下：
\[f(1)=0\\
f(1)=(f(i-1)+m)\% i \qquad (i>1)\]
数学方法简单明了，计算效率高，但是推导比较困难。
最后，我们给出以下两种方法的Python代码和朴素方法的Java代码，希望能给大家一点思考。
完整的Python代码如下：
# -*- coding: utf-8 -*-# This code is devoted to solve the Josephus Problem by Python.# N: numper of people
# m: cycle number
def solve1(N, m):
a = list(range(1, N+1)) # sequence end = 0 # the number of last man in sequence
while len(a) > 1:
b = []
for i in a:
if not (end+a.index(i)+1)%m:
b.append(i)
# print(i, end=' ') # print the order of removing
if a.index(i) == len(a)-1: # last man of sequence
end = (end+a.index(i)+1)%m # remove elements in b from a
for i in b:
a.remove(i) return a[0]# solve the problem by math method
def solve2(N, m):
return 0 if N == 1 else (solve2(N-1, m)+m)%N# main function for execution
def main():
N, m = 41, 3
left1 = solve1(N, m)
print('\nThe man left: %d' %left1) left2 = solve2(N, m)+1
print('\nThe man left: %d' % left2)main()
完整的Java代码如下：
import java.util.ArrayList;public class Josephus {public static void main(String[] args) {
int N = 41;
int m = 3;
int left = solve(N, m);
System.out.println("\nThe man left is "+left+".");}public static int solve(int N, int m) {
ArrayList<Integer> a = new ArrayList<Integer>();
int end = 0;for(int i=0; i < N; i++)
a.add(i+1);while(a.size() > 1) {
ArrayList<Integer> b = new ArrayList<Integer>();for(int i: a) {
if ((end+a.indexOf(i)+1)%m == 0)
b.add(i);
// System.out.print(i+"-->");if(a.indexOf(i) == a.size()-1)
end = (end+a.indexOf(i)+1)%m;
}for(Object i: b) {
a.remove(i);
}
}return a.get(0);
}}
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