[BZOJ 3052] [wc2013] 糖果公园 【树上莫队】

题目链接：BZOJ – 3052

题目分析

这道题就是非常经典的树上莫队了，并且是带修改的莫队。

带修改的莫队：将询问按照 左端点所在的块编号为第一关键字，右端点所在的块为第二关键字，位于第几次修改之后为第三关键字 排序。

我们将块的大小设置在 n^(2/3) ，这样一共有 n^(1/3) 个块。最后算法的总复杂度会是 n^(5/3) 。

每一次如何从上一个询问转移来呢？

假设上一个询问是 (lx, ly, lt) ，这次的询问是 (x, y, t) 。t 代表是在第 t 次修改操作之后。

首先先移动 t ，如果 t > lt ，那么就将 (lt+1, t) 的修改操作都做一次。如果 t < lt, 就从 t 开始撤销修改操作，一直撤销到 lt+1 。为了能够撤销修改操作，我们需要预处理每次修改操作修改的位置原来是什么颜色。

然后就是移动树上路径了，从 (lx, ly) 到 (x, y) 。这个有一个经典的做法。

我们用 S(a, b) 表示从 a 到 b 的路径上的所有点。我们不直接维护 S(x, y) 的路径上的点，而是维护一个 T(x, y)，即 S(x, y) 的路径上的点除去 LCA(x, y) 。

这样从 T(lx, ly) 转移到 T(x, y) 需要先转移到 T(x, ly)，再转移到 T(x, y) 。

从 T(lx, ly) 到 T(x, ly) : 我们用 xor 表示两个集合的对称差，就是出现两次的就会抵消。

那么 T(lx, ly) = S(lx, Root) xor S(ly, Root)

T(x, ly) = S(x, Root) xor S(ly, Root)

我们将上面两个式子的两边分别 xor 起来。

T(lx, ly) xor T(x, ly) = S(lx, Root) xor S(x, Root)

T(lx, ly) xor T(x, ly) = T(lx, x)

T(x, ly) = T(lx, ly) xor T(lx, x)

我们维护的是每个点是否在当前路径上，那么我们只需要将 T(lx, x) 上的点的状态改变，就实现了这个转移。

从 T(x, ly) 到 T(x, y) 同理。

实现了这个转移之后，我们就得到了 T(x, y) ，相比 S(x, y) 我们还需要将 LCA(x, y) 的状态改变，记录答案之后要再把 LCA 的状态改回去。因为我们需要维护的是 T(x, y)。

顺便说一下，使用的对树分块的方法，是 王室联邦 那道题的分块方法，维护一个栈。

目前在这道题的 Status 里的排名挨着 WJMZBMR 好开心~

代码

#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>using namespace std;inline void Read(int &Num)
{
char c = getchar();
bool Neg = false;
while (c < '0' || c > '9')
{
if (c == '-') Neg = true;
c = getchar();
}
Num = c - '0'; c = getchar();
while (c >= '0' && c <= '9')
{
Num = Num * 10 + c - '0';
c = getchar();
}
if (Neg) Num = -Num;
}typedef long long LL;const int MaxN = 100000 + 5, MaxQ = 100000 + 5;int n, m, q, BlkSize, Top, Index, ID_Index, Chg_Index, Qt;
int V[MaxN], W[MaxN], Col[MaxN], Father[MaxN], ID[MaxN], Depth[MaxN], S[MaxN], Cnt[MaxN], Jump[MaxN][20], Ti[MaxN];LL Ans;
LL AnsA[MaxQ];bool InPath[MaxN];struct Edge
{
int v;
Edge *Next;
} E[MaxN * 2], *P = E, *Point[MaxN];inline void AddEdge(int x, int y)
{
++P; P -> v = y;
P -> Next = Point[x]; Point[x] = P;
}void DFS(int x, int Fa, int Dep)
{
Father[x] = Fa; Depth[x] = Dep;
int Bottom = Top;
for (Edge *j = Point[x]; j; j = j -> Next)
{
if (j -> v == Fa) continue;
DFS(j -> v, x, Dep + 1);
if (Top - Bottom >= BlkSize)
{
++ID_Index;
while (Top > Bottom)
ID[S[Top--]] = ID_Index;
}
}
S[++Top] = x;
}struct Query
{
int x, y, vx, vy, tl, Idx;
} Q[MaxQ];inline bool Cmp(Query q1, Query q2)
{
if (q1.vx != q2.vx) return q1.vx < q2.vx;
if (q1.vy != q2.vy) return q1.vy < q2.vy;
return q1.tl < q2.tl;
}struct Chg
{
int Pos, Num, Prev;
} C[MaxQ];inline void ChangeCol(int Num, int f)
{
if (f == -1)
{
Ans -= (LL)V[Num] * (LL)W[Cnt[Num]];
--Cnt[Num];
}
else
{
++Cnt[Num];
Ans += (LL)V[Num] * (LL)W[Cnt[Num]];
}
}void ChangeTL(int x, int y)
{
if (x == y) return;
if (x < y)
{
for (int i = x + 1; i <= y; ++i)
{
if (InPath[C[i].Pos])
{
ChangeCol(Col[C[i].Pos], -1);
ChangeCol(C[i].Num, 1);
}
Col[C[i].Pos] = C[i].Num;
}
}
else
{
for (int i = x; i > y; --i)
{
if (InPath[C[i].Pos])
{
ChangeCol(Col[C[i].Pos], -1);
ChangeCol(C[i].Prev, 1);
}
Col[C[i].Pos] = C[i].Prev;
}
}
}inline void Reverse(int x)
{
if (InPath[x])
{
InPath[x] = false;
ChangeCol(Col[x], -1);
}
else
{
InPath[x] = true;
ChangeCol(Col[x], 1);
}
}void Change(int x, int y)
{
while (x != y)
{
if (Depth[x] < Depth[y]) swap(x, y);
Reverse(x);
x = Father[x];
}
}int LCA(int x, int y)
{
if (Depth[x] < Depth[y]) swap(x, y);
int Dif = Depth[x] - Depth[y];
for (int i = 0; i <= 18; ++i)
if (Dif & (1 << i)) x = Jump[x][i];
if (x == y) return x;
for (int i = 18; i >= 0; --i)
if (Jump[x][i] != Jump[y][i])
{
x = Jump[x][i];
y = Jump[y][i];
}
return Father[x];
}void Prepare()
{
for (int i = 1; i <= n; ++i) Jump[i][0] = Father[i];
for (int j = 1; j <= 18; ++j)
for (int i = 1; i <= n; ++i)
Jump[i][j] = Jump[Jump[i][j - 1]][j - 1];
}int main()
{
Read(n); Read(m); Read(q);
for (int i = 1; i <= m; ++i) Read(V[i]);
for (int i = 1; i <= n; ++i) Read(W[i]);
int a, b;
for (int i = 1; i <= n - 1; ++i)
{
Read(a); Read(b);
AddEdge(a, b);
AddEdge(b, a);
}
for (int i = 1; i <= n; ++i) Read(Col[i]);
BlkSize = (int)pow(n, 0.667);
DFS(1, 0, 0);
while (Top > 0) ID[S[Top--]] = ID_Index;
Prepare();
for (int i = 1; i <= n; ++i) Ti[i] = Col[i];
int f;
for (int i = 1; i <= q; ++i)
{
Read(f); Read(a); Read(b);
if (f == 0)
{
++Chg_Index;
C[Chg_Index].Prev = Ti[a];
Ti[a] = b;
C[Chg_Index].Pos = a;
C[Chg_Index].Num = b;
}
else
{
++Qt;
Q[Qt].x = a; Q[Qt].y = b;
Q[Qt].vx = ID[a]; Q[Qt].vy = ID[b];
Q[Qt].tl = Chg_Index;
Q[Qt].Idx = Qt;
}
}
sort(Q + 1, Q + Qt + 1, Cmp);
Ans = 0ll;
ChangeTL(0, Q[1].tl);
Change(Q[1].x, Q[1].y);
int t = LCA(Q[1].x, Q[1].y);
Reverse(t);
AnsA[Q[1].Idx] = Ans;
Reverse(t);
for (int i = 2; i <= Qt; ++i)
{
ChangeTL(Q[i - 1].tl, Q[i].tl);
Change(Q[i - 1].x, Q[i].x);
Change(Q[i - 1].y, Q[i].y);
t = LCA(Q[i].x, Q[i].y);
Reverse(t);
AnsA[Q[i].Idx] = Ans;
Reverse(t);
}
for (int i = 1; i <= Qt; ++i) printf("%lld\n", AnsA[i]);
return 0;
}