BZOJ2186: [Sdoi2008]沙拉公主的困惑（求[1,N!]与M！互素的个数）（线性筛）

程序员智慧技术 2022年11月22日

0 收藏 952 点赞 4,333 浏览 1380 个字

2186: [Sdoi2008]沙拉公主的困惑

Time Limit: 10 Sec Memory Limit: 259 MB
Submit: 6103 Solved: 2060
[Submit][Status][Discuss]

Description

　　大富翁国因为通货膨胀，以及假钞泛滥，政府决定推出一项新的政策：现有钞票编号范围为1到N的阶乘，但是，政府只发行编号与M!互质的钞票。房地产第一大户沙拉公主决定预测一下大富翁国现在所有真钞票的数量。现在，请你帮助沙拉公主解决这个问题，由于可能张数非常大，你只需计算出对R取模后的答案即可。R是一个质数。

Input

第一行为两个整数T，R。R<=10^9+10，T<=10000，表示该组中测试数据数目，R为模后面T行，每行一对整数N，M，见题目描述 m<=n

Output

共T行，对于每一对N，M，输出1至N！中与M！素质的数的数量对R取模后的值

Sample Input

1 11
4 2

Sample Output

数据范围：
对于100%的数据，1 < = N , M < = 10000000

HINT

Source

思路：开始以为是容斥，还乱做了几发。

这个题首先要做知道ans=N!*phi(M!)/M!；因为：如果x与y互质，那么x+y与y互质。此题如果x与M！互质，那么x+M！与M！互质。所以我们得到[1,M!]与M！互质的个数=phi(M!)；那么在[1,N!]与M！互质的个数出来了，因为M!|N!，所以ans=N!/M!*phi(M!)。

然后就是预处理，我们的ans=N!*Π(P-1)/P。我们可以预处理出逆元，以及阶乘的前缀(P-1)/P之积。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=;
int p[maxn],sum[maxn],cnt,rev[maxn],P,fac[maxn]; bool vis[maxn];
inline void read(int &x){
    x=; char c=getchar();
    while(c>''||c<'') c=getchar();
    while(c>=''&&c<='') x=x*+c-'',c=getchar();
}
void prime()
{
    for(int i=;i<maxn;i++){
        if(!vis[i]) p[++cnt]=i;
        for(int j=;j<=cnt&&i*p[j]<maxn;j++){
            vis[i*p[j]]=;
            if(!(i%p[j])) break;
        }
    }
    rev[]=; rev[]=; fac[]=;
    for(int i=;i<maxn;i++) fac[i]=1LL*fac[i-]*i%P;
    for(int i=;i<maxn;i++) rev[i]=1LL*(P-P/i)*rev[P%i]%P;
    sum[]=sum[]=;
    for(int i=;i<maxn;i++){
        if(!vis[i]) sum[i]=1LL*sum[i-]*(i-)%P*rev[i]%P;
        else sum[i]=sum[i-];
    }
}
int main()
{
    int T,N,M,ans;
    read(T); read(P);
    prime();
    while(T--){
        read(N); read(M);
        ans=1LL*fac[N]*sum[M]%P;
        printf("%d\n",ans);
    }
    return ;
}