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技术 2022年11月23日
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Link-cut tree(LCT)【可以理解为树链剖分+splay】

给出如下定义:

  access(x):访问x节点

  perferred child:若以x为根的子树中最后被访问的节点在以x的儿子y为根的子树中,则称y为节点x的preferred child

  preferred edge:节点x与其preferred child之间的边

  preferred path:由preferred edge组成的路径

每条preferred path用splay维护,记录splay的根接到上条重链的哪个节点

操作

  每次访问一个点时,该点一直到根的路径上的点全部被修改,与preferred child断开并连到新的preferred child上,并打上翻转标记,也就是拆分(cut)和合并(link)两个操作,其余链上的维护可以通过下传标记(pushdown)解决

例题:

  bzoj2002弹飞绵羊

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
const int Mx=;
int n,m,fa[Mx],l[Mx],r[Mx],root[Mx],siz[Mx],rev[Mx];
void pushup(int x) { siz[x]=siz[l[x]]+siz[r[x]]+; }
void pushdown(int x) { if(rev[x]) rev[x]^=,rev[l[x]]^=,rev[r[x]]^=,swap(l[x],r[x]); }
void rotate(int x)
{
int y=fa[x];
if(l[y]==x) l[y]=r[x],fa[r[x]]=y,r[x]=y,fa[x]=fa[y],fa[y]=x;
else r[y]=l[x],fa[l[x]]=y,l[x]=y,fa[x]=fa[y],fa[y]=x;
if(root[y]) root[y]=,root[x]=;
else
if(r[fa[x]]==y) r[fa[x]]=x;
else l[fa[x]]=x;
pushup(y);
}
void splay(int x)
{
while(!root[x])
{
int y=fa[x],yy=fa[y];
if(root[y]) rotate(x);
else
if((l[yy]==y&&l[y]!=x)||(l[yy]!=y&&l[y]==x)) rotate(y),rotate(x);
else rotate(x),rotate(x);
}
pushup(x);
}
void access(int x)
{
int y=;
while(x)
{
splay(x); root[r[x]]=,root[y]=;
pushup(x); r[x]=y,y=x,x=fa[x];
}
}
void rever(int x) { access(x); splay(x); rev[x]^=; }
void link(int x,int y) { rever(x); fa[l[x]]=,root[l[x]]=,l[x]=,fa[x]=y; pushup(x); }
void cut(int x,int y) { rever(x); access(y); splay(y); l[y]=,fa[x]=; }
int main()
{
scanf("%d",&n);
for(int i=;i<=n;i++) root[i]=,siz[i]=;
for(int i=;i<=n;i++)
{
int x; scanf("%d",&x);
if(i+x<=n) link(i,i+x);
}
scanf("%d",&m);
while(m--)
{
int num,x,k; scanf("%d",&num);
if(num==)
{
scanf("%d",&x); x++;
rever(x);
printf("%d\n",siz[l[x]]+);
}
else
{
scanf("%d%d",&x,&k); x++;
if(x+k>n) link(x,);
else link(x,x+k);
}
}
}

  bzoj2631 tree

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
const int Mx=;
const int p=;
int n,top,q[Mx],fa[Mx],son[Mx][],siz[Mx],rev[Mx];
unsigned int val[Mx],sum[Mx],add_tag[Mx],mul_tag[Mx];
inline int read()
{
int x=,f=;char ch=getchar();
while(ch<''||ch>''){if(ch=='-')f=-;ch=getchar();}
while(ch>=''&&ch<=''){x=x*+ch-'';ch=getchar();}
return x*f;
}
void cal(int x,int a,int b)
{
if(!x) return ;
val[x]=(a*val[x]+b)%p;
sum[x]=(a*sum[x]+b*siz[x])%p;
add_tag[x]=(a*add_tag[x]+b)%p;
mul_tag[x]=(a*mul_tag[x])%p;
}
int isroot(int x)
{
if(son[fa[x]][]!=x&&son[fa[x]][]!=x) return ;
return ;
}
void pushup(int x)
{
int l=son[x][],r=son[x][];
sum[x]=(sum[l]+sum[r]+val[x])%p;
siz[x]=(siz[l]+siz[r]+)%p;
}
void pushdown(int x)
{
int l=son[x][],r=son[x][];
if(rev[x])
rev[x]^=,rev[l]^=,rev[r]^=,
swap(son[x][],son[x][]);
int a=add_tag[x],m=mul_tag[x];
add_tag[x]=,mul_tag[x]=;
if(a!=||m!=) cal(l,m,a),cal(r,m,a);
}
void rotate(int x)
{
int l=,r=,y=fa[x],yy=fa[y];
if(son[y][]==x) l=; r=l^;
if(!isroot(y)) son[yy][(son[yy][]==y)]=x;
fa[x]=yy,fa[y]=x,fa[son[x][r]]=y,son[y][l]=son[x][r],son[x][r]=y;
pushup(y);pushup(x);
}
void splay(int x)
{
q[++top]=x;
for(int i=x;!isroot(i);i=fa[i]) q[++top]=fa[i];
while(top) pushdown(q[top--]);
while(!isroot(x))
{
int y=fa[x],yy=fa[y];
if(!isroot(y))
{
if((son[y][]==x)^(son[yy][]==y)) rotate(x);
else rotate(y);
}
rotate(x);
}
}
void access(int x)
{
for(int t=;x;t=x,x=fa[x])
splay(x),son[x][]=t,pushup(x);
}
void rever(int x)
{
access(x); splay(x); rev[x]^=;
}
void link(int x,int y)
{
rever(x); fa[x]=y;
}
void split(int x,int y)
{
rever(y); access(x); splay(x);
}
void cut(int x,int y)
{
rever(x); access(y); splay(y);
son[y][]=fa[x]=;
}
signed main()
{
int m; scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=;i<=n;i++) val[i]=sum[i]=mul_tag[i]=siz[i]=;
for(int i=,x,y;i<n;i++) scanf("%d%d",&x,&y),link(x,y);
while(m--)
{
char ch[]; scanf("%s",ch); int x,y,c; x=read(),y=read();
if(ch[]=='+') c=read(),split(x,y),cal(x,,c);
if(ch[]=='-') cut(x,y),x=read(),y=read(),link(x,y);
if(ch[]=='*') c=read(),split(x,y),cal(x,c,);
if(ch[]=='/') split(x,y),printf("%d\n",sum[x]);
}
return ;
}

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