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技术 2022年11月23日
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P2900 [USACO08MAR]土地征用Land Acquisition

题目描述

约翰准备扩大他的农场,眼前他正在考虑购买N块长方形的土地。如果约翰单买一块土 地,价格就是土地的面积。但他可以选择并购一组土地,并购的价格为这些土地中最大的长 乘以最大的宽。比如约翰并购一块3 × 5和一块5 × 3的土地,他只需要支付5 × 5 = 25元, 比单买合算。 约翰希望买下所有的土地。他发现,将这些土地分成不同的小组来并购可以节省经费。 给定每份土地的尺寸,请你帮助他计算购买所有土地所需的最小费用。

输入输出格式

输入格式:

  • Line 1: \(A\) single integer: \(N\)

  • Lines 2..\(N+1\): Line \(i+1\) describes plot \(i\) with two space-separated integers: \(width_i\) and \(length_i\)

输出格式:

  • Line 1: The minimum amount necessary to buy all the plots.

说明:

\(1<=N<= 50,000,1<= width_i <= 1,000,000,1<=length_i<=1,000,000\)


不裸的斜率优化。

发现如果做动态规划,我们并没有一个明显的转移顺序。

我们思考发现当一个矩形的长和宽都被可以被别的覆盖掉时,我们可以不考虑它。

如果把横纵坐标分别设为长和宽,那么一个点可以覆盖掉它与原点构成的矩形中的点。

这样的话,在坐标上剩下的点一定是横坐标递增,纵坐标递减的一个点集。

对于这个点集,我们就可以按横坐标做DP了,因为如果覆盖大的区间,小的区间也一定会被覆盖。

设\(dp[i]\)表示买下了前\(i\)块土地的最小花费。

则转移为:\(dp[i]=min_{0 \le j < i} dp[j]+x[i]*y[j+1]\)

套上斜率优化即可


Code:

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=50010;
ll dp[N];
int n,s[N],tot,q[N],l,r;
pair <ll,ll> dx0[N],dx[N];
int main()
{
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++)
scanf("%lld%lld",&dx0[i].first,&dx0[i].second);
sort(dx0+1,dx0+1+n);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
while(tot&&dx0[s[tot]].second<=dx0[i].second) tot--;
s[++tot]=i;
}
for(int i=1;i<=tot;i++)
dx[i]=dx0[s[i]];
l=r=1;
for(int i=1;i<=tot;i++)
{
while(l<r&&(-dx[i].first)*(dx[q[l+1]+1].second-dx[q[l]+1].second)>=dp[q[l+1]]-dp[q[l]]) l++;
dp[i]=dp[q[l]]+dx[i].first*dx[q[l]+1].second;
while(l<r&&(dp[i]-dp[q[r]])*(dx[q[r]+1].second-dx[q[r-1]+1].second)
>=(dp[q[r]]-dp[q[r-1]])*(dx[i+1].second-dx[q[r]+1].second)) r--;
q[++r]=i;
}
printf("%lld\n",dp[tot]);
return 0;
}

2018.7.21

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