机器学习数学笔记|偏度与峰度及其python实现
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矩
- 对于随机变量X,X的K阶原点矩为\[E(X^{k})
\] - X的K阶中心矩为\[E([X-E(X)]^{k})
\] - 期望实际上是随机变量X的1阶原点矩,方差实际上是随机变量X的2阶中心矩
- 变异系数(Coefficient of Variation):标准差与均值(期望)的比值称为变异系数,记为C.V
- 偏度Skewness(三阶)
- 峰度Kurtosis(四阶)
偏度与峰度
利用matplotlib模拟偏度和峰度
计算期望和方差
import matplotlib.pyplot as plt
import math
import numpy as np
def calc(data):
n=len(data) # 10000个数
niu=0.0 # niu表示平均值,即期望.
niu2=0.0 # niu2表示平方的平均值
niu3=0.0 # niu3表示三次方的平均值
for a in data:
niu += a
niu2 += a**2
niu3 += a**3
niu /= n
niu2 /= n
niu3 /= n
sigma = math.sqrt(niu2 - niu*niu)
return [niu,sigma,niu3]\[niu=\bar{X_{i}}即期望
\]
\[niu2=\frac{\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{2}}{n}
\]
\[niu3=\frac{\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{3}}{n}
\]
- sigma表示标准差公式为\[\sigma=\sqrt{E(x^{2})-E(x)^{2}}
\]\[用python语言表示即为sigma = math.sqrt(niu2 – niu*niu)
\] - 返回值为[期望,标准差,\(E(x^{3})\)]
- PS:我们知道期望E(X)的计算公式为\[E(X)=\sum_{i=1}^{n}p(i)x(i)—–(1)
\]这里我们X一个事件p(i)表示事件出现的概率,x(i)表示事件所给予事件的权值.
- 我们直接利用\[E(x)=\bar{X_{i}}—-(2)
\]表示期望应当明确
- (2)公式中\(X_{i}是利用numpy中的伪随机数生成的,其均值用于表示期望\)
- 此时(1)公式中对事件赋予的权值默认为1,即公式的本来面目为
\[E(x)=\bar{(X_{i}*1)}
\]
计算偏度和峰度
def calc_stat(data):
[niu, sigma, niu3]=calc(data)
n=len(data)
niu4=0.0 # niu4计算峰度计算公式的分子
for a in data:
a -= niu
niu4 += a**4
niu4 /= n skew =(niu3 -3*niu*sigma**2-niu**3)/(sigma**3) # 偏度计算公式
kurt=niu4/(sigma**4) # 峰度计算公式:下方为方差的平方即为标准差的四次方
return [niu, sigma,skew,kurt]
利用matplotlib模拟图像
if __name__ == "__main__":
data = list(np.random.randn(10000)) # 满足高斯分布的10000个数
data2 = list(2*np.random.randn(10000)) # 将满足好高斯分布的10000个数乘以两倍,方差变成四倍
data3 =[x for x in data if x>-0.5] # 取data中>-0.5的值
data4 = list(np.random.uniform(0,4,10000)) # 取0~4的均匀分布
[niu, sigma, skew, kurt] = calc_stat(data)
[niu_2, sigma2, skew2, kurt2] = calc_stat(data2)
[niu_3, sigma3, skew3, kurt3] = calc_stat(data3)
[niu_4, sigma4, skew4, kurt4] = calc_stat(data4)
print (niu, sigma, skew, kurt)
print (niu2, sigma2, skew2, kurt2)
print (niu3, sigma3, skew3, kurt3)
print (niu4, sigma4, skew4, kurt4)
info = r'$\mu=%.2f,\ \sigma=%.2f,\ skew=%.2f,\ kurt=%.2f$' %(niu,sigma, skew, kurt) # 标注
info2 = r'$\mu=%.2f,\ \sigma=%.2f,\ skew=%.2f,\ kurt=%.2f$' %(niu_2,sigma2, skew2, kurt2)
info3 = r'$\mu=%.2f,\ \sigma=%.2f,\ skew=%.2f,\ kurt=%.2f$' %(niu_3,sigma3, skew3, kurt3)
plt.text(1,0.38,info,bbox=dict(facecolor='red',alpha=0.25))
plt.text(1,0.35,info2,bbox=dict(facecolor='green',alpha=0.25))
plt.text(1,0.32,info3,bbox=dict(facecolor='blue',alpha=0.25))
plt.hist(data,100,normed=True,facecolor='r',alpha=0.9)
plt.hist(data2,100,normed=True,facecolor='g',alpha=0.8)
plt.hist(data4,100,normed=True,facecolor='b',alpha=0.7)
plt.grid(True)
plt.show()
- 图形表示的是利用numpy随机数生成函数生成的随机数的统计分布,利用matplotlib.pyplot.hist绘制的直方图.即是出现数字的分布统计,并且是归一化到0~1区间后的结果.
- 即横轴表示数字,纵轴表示在1000个随机数中横轴对应的数出现的百分比.若不使用归一化横轴表示数字(normed=False),纵轴表示出现的次数.
- 若不使用归一化–纵轴表示出现次数,
- 关于matplotlib.pyplot.hist函数
n, bins, patches = plt.hist(arr, bins=10, normed=0, facecolor='black', edgecolor='black',alpha=1，histtype='b')
hist的参数非常多，但常用的就这六个，只有第一个是必须的，后面四个可选arr: 需要计算直方图的一维数组bins: 直方图的柱数，可选项，默认为10normed: 是否将得到的直方图向量归一化。默认为0facecolor: 直方图颜色edgecolor: 直方图边框颜色alpha: 透明度histtype: 直方图类型，‘bar’, ‘barstacked’, ‘step’, ‘stepfilled’返回值 ：n: 直方图向量，是否归一化由参数normed设定bins: 返回各个bin的区间范围patches: 返回每个bin里面包含的数据，是一个list
