BP（Back Propagation）网络是1986年由Rumelhart和McCelland为首的科学家小组提出，是一种按误差逆传播算法训练的多层前馈网络，是目前应用最广泛的神经网络模型之一。BP网络能学习和存贮大量的输入-输出模式映射关系，而无需事前揭示描述这种映射关系的数学方程。
一个神经网络的结构示意图如下所示。
BP神经网络模型拓扑结构包括输入层（input）、隐层(hide layer)和输出层(output layer)。输入层神经元的个数由样本属性的维度决定，输出层神经元的个数由样本分类个数决定。隐藏层的层数和每层的神经元个数由用户指定。每一层包含若干个神经元，每个神经元包含一个而阈值
，用来改变神经元的活性。网络中的弧线
表示前一层神经元和后一层神经元之间的权值。每个神经元都有输入和输出。输入层的输入和输出都是训练样本的属性值。
对于隐藏层和输出层的输入
其中，
是由上一层的单元i到单元j的连接的权；
是上一层的单元i的输出；而
是单元j的阈值。
神经网络中神经元的输出是经由赋活函数计算得到的。该函数用符号表现单元代表的神经元活性。赋活函数一般使用simoid函数（或者logistic函数）。神经元的输出为：
除此之外，神经网络中有一个学习率（l）的概念，通常取0和1之间的值，并有助于找到全局最小。如果学习率太小，学习将进行得很慢。如果学习率太大，可能出现在不适当的解之间摆动。
交代清楚了神经网络中基本要素，我们来看一下BP算法的学习过程：
BPTrain(){
初始化network的权和阈值。
while 终止条件不满足 {
for samples中的每个训练样本X {
// 向前传播输入
for 隐藏或输出层每个单元j {
；//
相对于前一层i，计算单元j的净输入 
；//
计算单元j的输出
}
// 后向传播误差
for 输出层每个单元j {
；//
计算误差
}
for 由最后一个到第一个隐藏层，对于隐藏层每个单元j {
；//
k是j的下一层中的神经元
}
for network中每个权
{
； // 权增值
； // 权更新
}
for network中每个偏差
{
；
// 偏差增值
；//
偏差更新
}
}
}
算法基本流程就是：
1、初始化网络权值和神经元的阈值（最简单的办法就是随机初始化）
2、前向传播：按照公式一层一层的计算隐层神经元和输出层神经元的输入和输出。
3、后向传播：根据公式修正权值和阈值
直到满足终止条件。
算法中还有几点是需要说明的：
1、关于
，
是神经元的误差。
对于输出层神经元
，其中，
是单元j的实际输
出，而
是j基于给定训练样本的已知类标号的真正输出。
对于隐藏层神经元
，其中，
是由下一较高层中单元k到单元j的连接权，而
是单元k的误差。
权值增量是
，阈值增量是
，其中
是学习率。
对于
的推导采用了梯度下降的算法。推导的前提是保证输出单元的均方差最小。
，其中P是样本总数，m是输出层神经元个数
是样本实际输出，
是神经网络输出。
梯度下降思路就是对
求
的导数。
对于输出层：
其中的
就是
。
对于隐藏层：
其中
=
就是隐藏层的误差计算公式。
2、关于终止条件，可以有多种形式：
§ 前一周期所有的
都太小，小于某个指定的阈值。
§ 前一周期未正确分类的样本百分比小于某个阈值。
§ 超过预先指定的周期数。
§ 神经网络的输出值和实际输出值的均方误差小于某一阈值。
一般地，最后一种终止条件的准确率更高一些。
在实际使用BP神经网络的过程中，还会有一些实际的问题：
1、 样本处理。对于输出，如果只有两类那么输出为0和1，只有当
趋于正负无穷大的时候才会输出0，1。因此条件可适当放宽，输出>0.9时就认为是1，输出<0.1时认为是0。对于输入，样本也需要做归一化处理。
2、 网络结构的选择。主要是指隐藏层层数和神经元数决定了网络规模，网络规模和性能学习效果密切相关。规模大，计算量大，而且可能导致过度拟合；但是规模小，也可能导致欠拟合。
3、 初始权值、阈值的选择，初始值对学习结果是有影响的，选择一个合适初始值也非常重要。
4、 增量学习和批量学习。上面的算法和数学推导都是基于批量学习的，批量学习适用于离线学习，学习效果稳定性好；增量学习使用于在线学习，它对输入样本的噪声是比较敏感的，不适合剧烈变化的输入模式。
5、 对于激励函数和误差函数也有其他的选择。
总的来说BP算法的可选项比较多，针对特定的训练数据往往有比较大的优化空间。
