题目描述:
有n个函数，分别为F1,F2,…,Fn。定义Fi(x)=Ai*x^2+Bi*x+Ci (x∈N*)。给定这些Ai、Bi和Ci，请求出所有函数的所有函数值中最小的m个（如有重复的要输出多个）。
输入样例：
3 10
4 5 3
3 4 5
1 7 1
输出样例：
9 12 12 19 25 29 31 44 45 54
题目分析：
（MLE，TLE做法）看到题目我们第一眼肯定想到的是将每个函数枚举m次，然后对这n*m个数进行排序，输出前m个。代码如下：
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define MAXSIZE 100000000+20
#define MAXN 10000+20
int a[MAXN],b[MAXN],c[MAXN];
int num[MAXSIZE]; int main(){
int n,m,k=;
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=;i<=n;i++)
scanf("%d%d%d",&a[i],&b[i],&c[i]);
for(int i=;i<=n;i++)
for(int j=;j<=m;j++)
num[k++]=a[i]*j*j+b[i]*j+c[i];
std::sort(num+,num+k);
for(int i=;i<=m;i++)
printf("%d ",num[i]);
return ;
}
这样做的正确性是显而易见的：题目要求给出最小的M个数，这最小的M个数是由这N个函数生成的，最坏情况就是这M个数都由一个函数生成。那么即使这样，x的最大值也只是等于M，因为我们都知道：当二次函数y=ax2+bx+c(a>0)时，抛物线开口朝上，y随x增大而增大。所以当x1=i,x2=j(i,j∈N+,i<j)时y1<y2，所以我们对于同一个函数来说，x越小生成的数越小，这点在AC的算法中有很重要的作用。
通过上面所说的，我们可以得知x最大值也只是等于M，也就是说我们的枚举区间就是1~m。我们需要对每个函数都枚举一遍，所以这一步的时间复杂度是O(n*m)，最高是一亿，暂时还没超时，但是这是无序的，也就是说我们要将这n*m个数排序。
假设我们用的是最快的快排，没被卡快排，那么这一步的时间复杂度就是O(n*m*log2(n*m));总体时间复杂度就是O(n*m*log2(n*m))，对于n=10000，m=10000，这个时间复杂度明显超时，况且我们还要花O(n*m)空间开销，这也是吃不消的。
（AC做法）因为全部都算出来再排序输出必然超时，所以我们必须想办法减少算出来的值。在做出TLE且MLE的做法的时候，我们就证明了对于同一个函数而言，x越小生成的数越小，那我们不难画出下面这个表：
| 与x+1的关系 | x的值 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 函数 | < | < | < | < | < | < | < | < | |
| f1 | < | < | < | < | < | < | < | < | |
| f2 | < | < | < | < | < | < | < | < | |
| f3 | < | < | < | < | < | < | < | < | |
| f4 | < | < | < | < | < | < | < | < | |
| f5 | < | < | < | < | < | < | < | < | |
| f6 | < | < | < | < | < | < | < | < | |
| f7 | < | < | < | < | < | < | < | < | |
| … | < | < | < | < | < | < | < | < | |
假设xi=1,xj=1时fi<fj
则xi=1,xj=xj+1时fi<fj
则当只存在fi和fj时xi=1时fi为最小值
稍加思考，我们可以想到下面一种贪心算法：
一开始先取每个函数中x=1时的值，输出这中间最小的，然后将最小的更新为x=2时的情况，再输出最小的......
说到最小，就想到了用最小堆实现，代码如下：
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define min(a,b) (((a)<(b))?(a):(b))
using std::swap;
struct h{
int data;
int place;
}heap[+];
bool operator < (const h &X,const h &Y){ //重载小于号
return X.data<Y.data;
}
int a[+],b[+],c[+];
int x[+];
int n;
void put(int i){
while(i*+<=n){
if(min(heap[i*],heap[i*+])<heap[i]){ //比较左儿子和右儿子
if(heap[i*]<heap[i*+]){
swap(heap[i*],heap[i]);
i*=;
}else{
swap(heap[i*+],heap[i]);
i*=;
i++;
}
}else
break;
}if(i*<=n&&heap[i*]<heap[i]){
swap(heap[i*],heap[i]);
i*=;
}
} int main(){
int m;
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=;i<=n;i++)
scanf("%d%d%d",&a[i],&b[i],&c[i]);
for(int i=;i<=n;i++){
x[i]=; //保存每个函数的x用到了几
heap[i].data=a[i]+b[i]+c[i]; //当x=1的情况
heap[i].place=i;
}
for(int i=n;i>=;i--){
put(i); //建堆
}
for(int i=;i<=m;i++){
printf("%d ",heap[].data);
int &k=heap[].place;
heap[].data=heap[].data+*a[k]*x[k]+a[k]+b[k]; //自己去算，不想讲，初二数学--完全平方式
x[heap[].place]++;
put();
}
return ;
}
时间复杂度O((n+m)log2n),最坏情况20000*log2（10000）≈280000不会超时
空间复杂度O(n)最坏10000，约0.04MB,离上限128MB很远。
