• 作者： 负雪明烛
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题目地址：https://leetcode-cn.com/problems/diving-board-lcci/

题目描述

你正在使用一堆木板建造跳水板。有两种类型的木板，其中长度较短的木板长度为shorter，长度较长的木板长度为longer。你必须正好使用k块木板。编写一个方法，生成跳水板所有可能的长度。

返回的长度需要从小到大排列。

示例：

输入：
shorter = 1
longer = 2
k = 3输出： {3,4,5,6}

提示：

1. 0 < shorter <= longer
2. 0 <= k <= 100000

题目大意

两种无穷多个的木板，恰好从中使用 k 个，求能拼接出来的长度可能是多少。

解题方法

数学

这个题不是 DP 或者是 DFS 什么的。看给出的 k 的范围是 100000，我们知道需要用 O(n) 的解法。因此需要找规律了。

两个特例：

1. k == 0，这个时候返回 []
2. shorter == longer，此时结果中只有一种长度，即 shorter * k

除了上述两种特例之外，即要从长度为 shorter 和 longer 的木板中（longer > shorter），挑选 k (k > 0) 个。

先说结论：构成的不同长度木板的结果必有 k + 1 个，分别为 shorter * k + (longer - shorter) * i，其中 0 <= i <= k。

证明如下：

假如，假设取了 k - i 个 shorter 木板，则取了 i 个 longer 木板。

构成的总长度 f(i) 是：

f(i) = shorter * (k - i) + longer * i
     = shorter * k + (longer - shorter) * i

由于 longer - shorter > 0，所以 f(i) 是随着 i 的增长而单调递增的一元线性函数。

由一元线性函数的性质，我们知道函数 f(i) 不会有相同的取值。而 i 的取值是 0 <= i <= k，因此 f(i) 必有 k + 1 个不同的取值。

因此我们定义一个长度为 k + 1 的数组，把其中的每个位置分别设置为 shorter * (k - i) + longer * i 即可。

Python 代码如下：

class Solution:
    def divingBoard(self, shorter: int, longer: int, k: int) -> List[int]:
        if not k:
            return []
        if shorter == longer:
            return [shorter * k]
        res = [0] * (k + 1)
        for i in range(k + 1):
            res[i] = shorter * (k - i) + longer * i
        return res

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日期

2020 年 7 月 8 日 —— 准备回京