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洛谷P1962 斐波那契数列题解

程序员云霞技术 2022年11月8日

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题目背景

大家都知道，斐波那契数列是满足如下性质的一个数列：

• f(1) = 1

• f(2) = 1

• f(n) = f(n-1) + f(n-2) (n ≥ 2 且 n 为整数)

题目描述

请你求出 f(n) mod 1000000007 的值。

输入格式

·第 1 行：一个整数 n

输出格式

第 1 行： f(n) mod 1000000007 的值

输入输出样例

输入 #1 复制

输出 #1 复制

输入 #2 复制

输出 #2 复制

说明/提示

对于 60% 的数据： n ≤ 92

对于 100% 的数据： n在long long(INT64)范围内。

解析：

$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\ 现在我需要求的矩阵是:\\
\begin{bmatrix}
f[ i]\\
f[ i-1]
\end{bmatrix}\\
根据题目中给出的条件:f[ i] =f[ i-1] +f[ i-2]\\
下一步求f[ i+1]\\
所以求初始矩阵为\\
\begin{bmatrix}
1 & 1\\
1 & 0
\end{bmatrix}\\
对初始矩阵进行矩阵快速幂然后输出a[ 1][ 1]
\end{array}$

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <queue>
#include <stack>
#define re register
#define Max 200000012
#define int long long
int n;
const int mod=1000000007;
struct Mat {
int a[3][3];
Mat() {memset(a,0,sizeof a);}
inline void build() {
memset(a,0,sizeof a);
for(re int i = 1 ; i <= 2 ; ++ i) a[i][i]=1;
}
};
Mat operator*(Mat &a,Mat &b)
{
Mat c;
for(re int k = 1 ; k <= 2 ; ++ k)
for(re int i = 1 ; i <= 2 ; ++ i)
for(re int j = 1 ; j <= 2 ; ++ j)
c.a[i][j]=(c.a[i][j]+a.a[i][k]*b.a[k][j]%mod)%mod;
return c;
}
Mat a;
Mat quick_Mat(int x)
{
Mat ans;ans.build();
while(x) {
if((x&1)==1) ans = ans * a;
a = a * a;
x >>= 1;
}
return ans;
}
signed main()
{
scanf("%lld",&n);
a.a[1][1]=1;a.a[1][2]=1;
a.a[2][1]=1;Mat b;
b.a[1][1]=1;b.a[2][1]=1;
if(n>=1 && n<=2) {
printf("1");return 0;
}
Mat ans=quick_Mat(n-2);
ans=ans*b;
printf("%lld",ans.a[1][1]);
return 0;
}