【软工】个人项目作业——个人软件流程(PSP)

个人软件流程（PSP）

最终完成整个项目的时间远远超出了我的预计，其中与预期严重不符的项包括：分析需求、设计和测试。其中，分析需求和设计超时的原因是对题目要求功能的本质思考不清晰，思路和设计经过了以下的反复迭代和更改：

• 首先对参数在\((-10^5,10^5)\)范围时的交点取值范围进行了数学上的分析，认为线-线交点可能坐标高达\(4\times10^{10}\)，精度要求可能高于\(10^{-5}\)。

• 于是认为使用double维护点坐标精度不够，于是决定自行构造一个有理数类\(\frac{P}{Q}\)，分子分母均为long long型

• 后来发现附加题里涉及到圆，线-圆交点的形式为\(\frac{A+B\sqrt{C}}{D}\)，于是决定扩展有理数类到支持带系数的根式。再思考如何标准化该式以进行两坐标之间的比较（哈希和判等），涉及到了质因数分解等。

• 再仔细分析，认为线-线交点范围可能达到\(4\times 10^{10}\)，再由于double类型的有效数字仅为15位左右，即小数点后5位左右，因此认为应当使用有理数类存储线线交点以避免精度问题。然而对线-圆交点和圆-圆交点而言，交点范围必在\(\pm 2\times 10^{5}\)以内，因此使用double存储可到小数点后近10位，因此涉及到圆的交点可以使用double，精度足够。在比较时认为有理数≠double小数。

• 又发现线线交点可能和圆交点重合，于是必须检查涉及到圆的交点坐标是否为有理数。是有理数则使用有理数类，否则使用double。这要求将坐标的公式写出，检查根号内的整数是否为完全平方数。若是完全平方数则可以化为有理数类，否则直接求值。

可以看出，如果一开始就较为清晰地将各个需求罗列出来，再一一分析，分析之后再进行统一设计，可能很快就可以想出有理数/无理数的分类，而不是将所谓设计的有理数类反复拓展以支持新需求。

如果是一边像这样设计一边写代码，浪费的时间就更是灾难性的，代码将会反复修改，思路也会频繁被打断。

因此PSP看似麻烦复杂的流程不是没有道理的，以后应当记住这个教训。

解题思路

此题使用哈希表的暴力解法时间复杂度为\(O(n^2)\)。容易考虑到有两种优化条件，分别为 “平行线” 和 “多线共点”。对于前者可以按斜率进行等价类划分，在类间进行两两求交；对于后者需要额外计算判断是否共点，也会带来常数的提升。

因此笔者仍然选择暴力解法，枚举每pair的几何对象组合，计算交点，使用哈希集合维护去重。

点的维护

三种交点有着三种不同的公式。首先将它们的通式推导出来。具体的推导和公式可以参照：

• 线-线交点: Wikipedia
• 线-圆交点: Wolfram MathWorld
• 圆-圆交点: Stack Overflow

其中，线线交点可以写成如下形式：

\[(x,y)=(\frac{x_1}{x_2},\frac{y_1}{y_2})
\]

其中\(x_1,x_2,y_1,y_2\)均为整数表达式的运算结果。于是，设计一个有理数类存储线-线交点的坐标（不使用double的理由见上节）以便于哈希和比较。

然而，线-圆交点和圆-圆交点的形式为：

\[(x,y)=(\frac{x_1+x_2\sqrt{\Delta}}{x_3},\frac{y_1+y_2\sqrt{\Delta}}{y_3})
\]

其中\(x_\bullet,y_\bullet, \Delta\)均为整数表达式的运算结果。当\(\Delta\)为完全平方数时，该式化简为有理数形式；否则，该式为无理数。

考虑到有理数不可能等于无理数，因此首先检查\(\Delta\)是否能开根，若可以则使用有理数类，否则直接求值使用double存储（此处可以使用double的理由见上节）。

求交点：四种二元关系

假设有类Line和类Circle存储两类几何对象。然而求交点需要(Line, Line), (Line, Circle), (Circle, Line), (Circle, Circle)四种组合。

一开始，我倾向于使用父类和子类维护不同的几何对象，但发现即使使用重载和重写，代码效率和可读性并没有明显的提高。

后来通过查找资料，我在 这篇问答帖子 中找到了最佳的解决方案：使用std::variant和std::visit来优美地实现“多态二元函数”。

std::variant相当于一种升级版的union类型，可以安全地存储不同类型的对象，可以通过index()方法取得某对象的类型，也可以通过std::get<type>(x)取得variant对象x的值。不仅如此，它还支持使用std::visit(visitor, vars)去自动处理各种类型为参数的函数调用（可以参考cppReference.com），正好和该问题的需求相匹配！其中，visitor是一个封装了callable函数的结构体，能支持每个参数的每种类型组合，vars是待传入的variant参数列表。

具体实现请见“代码说明”。

交点集合的维护（去重）

C++中的set基于BST实现，在此我们并不需要对点进行排序和有序组织，因此考虑使用unordered_set来维护点，相当于Java中的HashSet。要使用unordered_set，必须提供哈希函数和判等函数。

对于点来说，有x和y两个坐标，在哈希时只需将两个坐标获取哈希值再进行组合即可，在判等时需要注意先验条件“有理数不等于无理数”以保证正确性！

而坐标有整数数对（有理数）和浮点数（double）两种形式，在判等时应当注意判断等号两端坐标分别点类型。

注意到在哈希和判等前，坐标必须进行化简（\(\frac{8}{6}=\frac{4}{3}\)）和标准化（\(\frac{-0}{8}=\frac{0}{1}\)），因此使用辗转相除法求最大公约数，再消去该因子。

由于这里分子和分母有可能较大，因此普通的辗转相除法可能效率较低。一个优化的辗转相除法可以参照《编程之美》2.7节《最大公约数问题》。该算法检查两数的奇偶性，当至少有一个数为偶数的情况下，数值的规模将会直接减半。当两个数为奇数时，算法避免了较慢的除法和取模运算，而是使用辗转相减，使得再次出现偶数。因此，该算法的最坏时间复杂度为\(O(\log_2(\max(x,y))\)，十分理想。

具体实现请见“代码说明”。

设计

类与数据结构

如上文所说，基础的数据结构是坐标，支持两种形式的数，构造时化简和标准化。支持hashCode。

class Coordinate {
    // Case 1: Rational Number = A / B (long-long / long-long)
    // Case 2: Float Number = C (double)
private:
    void simplifyRational();
    void simplifySqrt(ll add, ll coeff, ll insqrt, ll btm);public:
    bool isRational, isNan;
    ll top, bottom;
    double value;    Coordinate(ll tp, ll btm);  // tp / btm
    Coordinate(ll a, ll b, ll c, ll btm);  //  ( a + b * sqrt(c) ) / btm  ----->  (1) A / B   or   (2) double value
    std::size_t hashCode() const ;
};

坐标组成点，点可以求哈希值和判等：

class Point {
public:
    Coordinate x, y;
    Point(Coordinate xx, Coordinate yy);
};struct hashCode_Point {
    std::size_t operator()(const Point &point) const ;
};struct equals_Point {
    bool operator()(const Point &lhs, const Point &rhs) const ;
};

几何对象有直线和点，它们之间支持两两求交点：

class Line {
public:
    Line(int x1, int y1, int x2, int y2);
    int p1_x, p1_y;
    int p2_x, p2_y;
};class Circle {
public:
    Circle(int x, int y, int r);
    int center_x, center_y;
    int radius;
};std::vector<Point> intersection(Line x, Circle y);
std::vector<Point> intersection(Circle x, Line y);
std::vector<Point> intersection(Line x, Line y);
std::vector<Point> intersection(Circle x, Circle y);

最后使用基于哈希的unordered_map维护点集：

std::unordered_set<Point, hashCode_Point, equals_Point> container;

代码说明

坐标与交点

优化的最大公约数算法，为化简作准备：

ll fastGcd(ll x, ll y) {
    if (x < y)
        return fastGcd(y, x);
    if (!y)
        return x;
    // 使用位运算以避免较慢的除法和取模
    if ((x >> 1u) << 1u == x) {
        // 两个偶数 或 一奇一偶
        if ((y >> 1u) << 1u == y) return (fastGcd(x >> 1u, y >> 1u) << 1u);
        else return fastGcd(x >> 1u, y);
    } else {
        // 一奇一偶 或 两个奇数
        if ((y >> 1u) << 1u == y) return fastGcd(x, y >> 1u);
        else return fastGcd(y, x - y);
    }
}

标准化有理数，检查是否能开根号将“无理数”化为有理数：

void Coordinate::simplifyRational() {
    // 化简成分母为正数、分子符号不定的最简分数
    assert(isRational);    // now bottom != 0
    // 6 / -4 --> -3 / 2
    if (bottom < 0) {
        top = -top;
        bottom = -bottom;
    }    // now bottom > 0 ---> gcd != 0
    ll gcd = fastGcd(abs(bottom), abs(top));
    top /= gcd;
    bottom /= gcd;
}void Coordinate::simplifySqrt(ll add, ll coeff, ll insqrt, ll btm) {
    // 检查是否可开根号成有理数
    ll tryRoot = sqrt(insqrt);
    if (tryRoot * tryRoot == insqrt) {  // actually a RATIONAL !
        isRational = true;
        top = add + coeff * tryRoot;
        bottom = btm;
        simplifyRational();
    }
}

坐标数值的哈希函数与点的哈希函数：

std::size_t Coordinate::hashCode() const {
    if (isRational) {
        std::size_t h1 = std::hash<long long>{}(top);
        std::size_t h2 = std::hash<long long>{}(bottom);
        // 参考标准库的写法，将两子成员的哈希值合并
        return ((h1 ^ (h2 << 1u)) << 1u) | 1u;
    } else {
        std::size_t h = std::hash<double>{}(value);
        // 有先验知识：有理数≠无理数
        // 有理数的哈希值末尾为1，无理数的哈希值末尾为0
        return (h << 1u) | 0u;
    }
}struct hashCode_Point {
    std::size_t operator()(const Point &point) const {
        std::size_t h1 = point.x.hashCode();
        std::size_t h2 = point.y.hashCode();
        // 参考标准库的写法，将两子成员的哈希值合并
        return h1 ^ (h2 << 1u);
    }
};

点的判等函数：

struct equals_Point {
    bool operator()(const Point &lhs, const Point &rhs) const {
        // 按成员比较。注意有先验知识：有理数≠无理数
        bool x_eq = false, y_eq = false;
        if (lhs.x.isRational) {
            x_eq = (rhs.x.isRational & (lhs.x.top == rhs.x.top) & (lhs.x.bottom == rhs.x.bottom));
        } else {
            // 无理数取小数点八位进行比较
            x_eq = ((!rhs.x.isRational) & ((long long)(lhs.x.value * 1e8) == (long long)(rhs.x.value * 1e8)));
        }
        if (lhs.y.isRational) {
            y_eq = (rhs.y.isRational & (lhs.y.top == rhs.y.top) & (lhs.y.bottom == rhs.y.bottom));
        } else {
            y_eq = ((!rhs.y.isRational) & ((long long)(lhs.y.value * 1e8) == (long long)(rhs.y.value * 1e8)));
        }
        return x_eq & y_eq;
    }
};

直线与圆求交点

两两求交点，共四种组合的自动匹配：

// 使用 std::variant 和 std::visit 来实现“多态二元函数” !// 重载四种组合
std::vector<Point> intersection(Line x, Circle y);
std::vector<Point> intersection(Circle x, Line y);
std::vector<Point> intersection(Line x, Line y);
std::vector<Point> intersection(Circle x, Circle y);// 类型的定义，相当于 union
using Geometry = std::variant<Line, Circle>;// 重载()运算符以实现类型匹配
struct interset_visitor {
    template<typename Shape1, typename Shape2>
    std::vector<Point> operator()(const Shape1 &lhs, const Shape2 &rhs) const {
        return intersection(lhs, rhs);
    }
};// 定义hashSet，传入哈希函数和判等函数
std::unordered_set<Point, hashCode_Point, equals_Point> container;for (int i = 0; i < objCount; ++i) {
    for (int j = i + 1; j < objCount; ++j) {
        // 使用 std::visit 重定向四种重载的参数组合
        std::vector<Point> intersections = std::visit(interset_visitor{}, (*objs)[i], (*objs)[j]);
        for (Point p: intersections)
            container.insert(p);
    }
}

单元测试

为使程序跨平台且具有较好的可拓展性，笔者没有采用VS自带的单元测试框架，而是使用了其支持的 GoogleTest。

笔者针对坐标&点、几何&求交这两个主要功能和数据单元进行了数十项单元测试，测试点主要功能点如下所示：

• 坐标和点的构造与化简 GoogleTest Code
  • 有理数的构造
  • 无理数的构造和求浮点值
  • 有理数的化简
  • 复杂式化简成有理数
  • 复杂式无法化简成有理数
  • 分子分母各个位置上的负数、0、正数、极小值、极大值
  • 非法坐标（交点在无穷远）
  • 随机参数对象
• 两个几何对象求交点 GoogleTest Code
  • 平行于坐标轴的直线
  • 非平凡的直线
  • 交点为有理数的直线
  • 交点为有理数的线-圆和圆-圆
  • 交点为无理数的线-圆和圆-圆
  • 线-圆相交、相切、相离
  • 圆-圆相交、内外切、内外离
  • 随机参数对象

运行结果为：

笔者使用Wolfram Alpha来辅助调试和获取正确答案：

性能改进

笔者使用VS 2019 Community进行了效能分析测试，第一次测试结果如下：

可以看到，operator <<占了很多的时间，导致判等函数占用很多时间，同时程序运行超时。

这是因为为了简单起见，在哈希表的判等中，笔者使用单元测试时验证过的输出函数将对象转换成字符串，再进行字符串的比较。这样时间主要浪费在了构造字符流、构造字符串和比较字符串上。

因此，笔者对其进行了改进，将使用输出到字符串再比较替换成了按逻辑比较成员变量：

struct equals_Point {
    bool operator()(const Point &lhs, const Point &rhs) const {
        /* TIME-COSTING !!!
        std::ostringstream outstream1, outstream2;
        outstream1 << lhs;
        outstream2 << rhs;
        return outstream1.str() == outstream2.str();
        */
        bool x_eq = false, y_eq = false;
        if (lhs.x.isRational)
            x_eq = ...;
        else
            x_eq = ...;
        if (lhs.y.isRational) ...
        return x_eq & y_eq;
    }
};

第二次测试的结果如下：

可以看出，现在程序的主要运行时间花费分布十分合理，主要在求交点、构造交点、化简交点、求最大公约数这一条调用链上。程序的运行时间也从100s缩短到了19s。

代码风格与质量

笔者使用VS 2019 Community进行了代码质量分析（Microsoft建议的分析），改正代码后的结果如下：

其中关于freopen和scanf的警告，在此次作业确保调用方式正确、输入数据正确的情况下，笔者为了效率和性能，没有将其替换成freopen_s、scanf_s等，也没有增加相应的代码处理它们的返回值。

最后一条警告的对象是下面一条语句：

ll insideSqrt;
...
ll possibleRoot = sqrt(insideSqrt);

工具警告我们将double转成long long可能丢失数据，但我们明确知道sqrt()内部的值是long long型的整数，且取值范围在\(\pm4\times 10^{10}\)内，开根号后取值范围必定不会变大到与double的取值范围相当，因此笔者明确知道此处的写法是安全的且符合程序员本意的，因此有意忽略。