(ex)Lucas总结

普通Lucas

求

\[C_n^m\;mod\;p
\]

其中\(n,m,p\leq 10^5\)其中\(p\)为质数

公式不难背，那就直接背吧。。。

\[C_n^m\;mod\;p=C_{n\;mod\;p}^{m\;mod\;p}*C_{n/p}^{m/p}
\]

如果\({n\;mod\;p}<{m\;mod\;p}\)就直接\(return\;0\)

int Lucas(int n, int m) {
if (!m) return 1;
else return 1ll * C(n % Mod, m % Mod) * Lucas(n / Mod, m / Mod) % Mod;
}

exLucas

设\(p=\prod {p_i}^{k_i}\)

如果我们可以求出每个\(C_n^m\;mod\;{p_i}^{k_i}\)就可以直接\(crt\)合并了

因为

\[C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}
\]

所以问题转化为求几个阶乘以及阶乘的逆元。

所以关键在于如何快速求阶乘

为了方便统计出现了多少个\(p\)的次幂，我们先将阶乘中所有的\(p\)提出来。

可以简单的算出共有\(\left\lfloor\frac np\right\rfloor\)个，中间每一项都除\(p\)

可得\(\left\lfloor\frac np\right\rfloor!\)可以递归求解。

对于不可以提出来的，可以发现他们都对于\(mod\;p^k\)有一个循环节

把循环节中的和不在其中的暴力算就行了

部分代码

ll fac(ll n, ll pi, ll pk) {
    if (!n) return 1;
    ll res = 1;
    for (ll i = 2; i <= pk; i++)
        if (i % pi) res = res * i % pk;
    res = fpow(res, n / pk, pk);
    for (ll i = 2; i <= n % pk; i++)
        if (i % pi) res = res * i % pk;
    return res * fac(n / pi, pi, pk) % pk;
}
ll CRT(ll b, ll p, ll Mod) { return b * inv(p / Mod, Mod) % p * (p / Mod) % p; }
ll C(ll n, ll m, ll pi, ll pk) {
ll fz = fac(n, pi, pk), fm1 = fac(m, pi, pk), fm2 = fac(n - m, pi, pk);
ll k = 0;
for (ll i = n; i; i /= pi) k += i / pi;
for (ll i = m; i; i /= pi) k -= i / pi;
for (ll i = n - m; i; i /= pi) k -= i / pi;
return fz * inv(fm1, pk) % pk * inv(fm2, pk) % pk * fpow(pi, k, pk) % pk;
}
ll exlucas(ll n, ll m, ll Mod) {
ll res = 0, tmp = Mod;
for (int i = 2; 1ll * i * i <= Mod; i++)
    if (tmp % i == 0) {
    ll pk = 1; while (tmp % i == 0) pk *= i, tmp /= i;
res = (res + CRT(C(n, m, i, pk), Mod, pk)) % Mod;
    }
if (tmp > 1) res = (res + CRT(C(n, m, tmp, tmp), Mod, tmp)) % Mod;
return res;
}