Kosaraju 算法
一.算法简介
在计算科学中，Kosaraju的算法（又称为–Sharir Kosaraju算法）是一个线性时间(linear time)算法找到的有向图的强连通分量。它利用了一个事实，逆图（与各边方向相同的图形反转, transpose graph）有相同的强连通分量的原始图。
有关强连通分量的介绍在之前Tarjan 算法中：Tarjan Algorithm
逆图(Tranpose Graph ):
我们对逆图定义如下：
GT=(V, ET)，ET={(u, v):(v, u)∈E}}
上图是有向图G ， 和图G的逆图 GT
摘录维基百科上对Kosaraju Algorithm 的描述：
(取自https://en.wikipedia.org/wiki/Kosaraju%27s_algorithm)
- For each vertex u of the graph, mark u as unvisited. Let L be empty.
- For each vertex u of the graph do Visit(u), where Visit(u) is the recursive subroutine:
- If u is unvisited then:
- Mark u as visited.
- For each out-neighbour v of u, do Visit(v).
- Prepend u to L.
- Otherwise do nothing.
- If u is unvisited then:
- For each element u of L in order, do Assign(u,u) where Assign(u,root) is the recursive subroutine:
- If u has not been assigned to a component then:
- Assign u as belonging to the component whose root is root.
- For each in-neighbour v of u, do Assign(v,root).
- Otherwise do nothing.
- If u has not been assigned to a component then:
通过以上的描述我们发现，Kosaraju 算法就是分别对原图G 和它的逆图 GT 进行两遍DFS，即：
1).对原图G进行深度优先搜索，找出每个节点的完成时间(时间戳)
2).选择完成时间较大的节点开始，对逆图GT 搜索，能够到达的点构成一个强连通分量
3).如果所有节点未被遍历，重复2). ，否则算法结束；
二.算法图示
上图是对图G,进行一遍DFS的结果，每个节点有两个时间戳，即节点的发现时间u.d和完成时间u.f
我们将完成时间较大的，按大小加入堆栈
1)每次从栈顶取出元素
2)检查是否被访问过
3)若没被访问过，以该点为起点，对逆图进行深度优先遍历
4)否则返回第一步，直到栈空为止
[ATTENTION] : 对逆图搜索时，从一个节点开始能搜索到的最大区块就是该点所在的强连通分量。
从节点1出发，能走到 2 ，3，4 ， 所以{1 , 2 , 3 , 4 }是一个强连通分量
从节点5出发，无路可走，所以{ 5 }是一个强连通分量
从节点6出发，无路可走，所以{ 6 }是一个强连通分量
自此Kosaraju Algorithm完毕，这个算法只需要两遍DFS即可，是一个比较易懂的求强连通分量的算法。
STRONG-CONNECTED-COMPONENTS ( GRAPH G )
1 call DFS(G) to compute finishing times u.f for each vertex u
2 compute GT
3 call DFS (GT) , but in the main loop of DFS , consider the vertices
in order of decreasing u.f ( as computed in line 1 )
4 output the vertices of each tree in the depth-first forest formed in line 3 as a
separate strongly-connected-componet
三.算法复杂度
邻接表：O(V+E)
邻接矩阵：O(V2)
该算法在实际操作中要比Tarjan算法要慢
四.算法模板&注释代码
#include "cstdio"
#include "iostream"
#include "algorithm" using namespace std ; const int maxN = , maxM = ; struct Kosaraju { int to , next ; } ; Kosaraju E[ ][ maxM ] ;
bool vis[ maxN ];
int head[ ][ maxN ] , cnt[ ] , ord[maxN] , size[maxN] ,color[ maxN ]; int tot , dfs_num , col_num , N , M ; void Add_Edge( int x , int y , int _ ){//建图
E[ _ ][ ++cnt[ _ ] ].to = y ;
E[ _ ][ cnt[ _ ] ].next = head[ _ ][ x ] ;
head[ _ ][ x ] = cnt[ _ ] ;
} void DFS_1 ( int x , int _ ){
dfs_num ++ ;//发现时间
vis[ x ] = true ;
for ( int i = head[ _ ][ x ] ; i ; i = E[ _ ][ i ].next ) {
int temp = E[ _ ][ i ].to;
if(vis[ temp ] == false) DFS_1 ( temp , _ ) ;
}
ord[(N<<) + - (++dfs_num) ] = x ;//完成时间加入栈
} void DFS_2 ( int x , int _ ){
size[ tot ]++ ;// 强连通分量的大小
vis[ x ] = false ;
color[ x ] = col_num ;//染色
for ( int i=head[ _ ][ x ] ; i ; i = E[ _ ][ i ].next ) {
int temp = E[ _ ][ i ].to;
if(vis[temp] == true) DFS_2(temp , _);
}
} int main ( ){
scanf("%d %d" , &N , &M );
for ( int i= ; i<=M ; ++i ){
int _x , _y ;
scanf("%d %d" , &_x , &_y ) ;
Add_Edge( _x , _y , ) ;//原图的邻接表
Add_Edge( _y , _x , ) ;//逆图的邻接表
}
for ( int i= ; i<=N ; ++i )
if ( vis[ i ]==false )
DFS_1 ( i , ) ;//原图的DFS for ( int i = ; i<=( N << ) ; ++i ) {
if( ord[ i ]!= && vis[ ord[ i ] ] ){
tot ++ ; //强连通分量的个数
col_num ++ ;//染色的颜色
DFS_2 ( ord[ i ] , ) ;
}
} for ( int i= ; i<=tot ; ++i )
printf ("%d ",size[ i ]);
putchar ('\n');
for ( int i= ; i<=N ; ++i )
printf ("%d ",color[ i ]);
return ;
}
2016-09-18 00:16:19
(完)
