【BZOJ4671】(斯特林反演)

题目

【BZOJ4671】异或图

很有意思的题

做法

直接处理显然很难，我们考虑范围扩大以求容斥或反演这类的帮助

\(f_i\)表示至少有\(i\)个联通块的方案，形如设立\(i\)个联通块轮廓，联通块内连边随意，联通块与联通块之间无连边

\(g_i\)表示恰好有\(i\)个联通块的方案，形如设立\(i\)个联通块轮廓，在保证内部联通的情况下，外部块与块间无连边

显然：$$f_x=\sum\limits_{i=x}^n\begin{Bmatrix}i\x\end{Bmatrix}g_i$$

根据斯特林反演：$$g_x=\sum\limits_{i=x}^n (-1)^{i-x}\begin{bmatrix}i\x\end{bmatrix}f_i$$

故\(g_1=\sum\limits_{i=1}^n (-1)^{i-1}\begin{bmatrix}i\\1\end{bmatrix}f_i\)

而\(\begin{bmatrix}i\\1\end{bmatrix}\)是阶乘形式：\(\begin{bmatrix}i\\1\end{bmatrix}=(i-1)!\)

化简答案为：\(g_1=\sum\limits_{i=1}^n (-1)^{i-1}(i-1)!f_i\)

考虑\(f_i\)如何求出：状压点所属联通块状态，则我们要选择图集使块与块之间无边，考虑枚举每个图的\(S\)表示点与点之间的连边(不属同一联通块)，我们压到线性基里去，\(ele\)表示线性基元素，这些元素是不能选择的(相异)，故答案为\(2^{N-ele}\)

Code

#include<bits/stdc++.h>
typedef int LL;
const LL maxn=109;
LL N,n;
LL G[maxn][maxn][maxn],a[maxn];
char s[maxn];
long long ans,p[maxn],S,fac[15];
void Dfs(LL x,LL up){
if(x==n+1){
memset(p,0,sizeof(p)); LL ele(0);
for(LL i=1;i<=N;++i){
S=0; LL tot(0);
for(LL j=1;j<=n;++j)
    for(LL k=j+1;k<=n;++k)
        if(a[k]!=a[j]){
        S|=(1ll<<tot)*G[i][j][k];
        ++tot;
}
for(LL j=0;j<tot;++j){
if(S&(1ll<<j)){
if(!p[j]){
p[j]=S;
++ele;
break;
}else
    S^=p[j];
}
}
}
ans+=1ll*((up&1)?1:-1)*fac[up-1]*(1ll<<N-ele);
return;
}
for(LL i=1;i<=up+1;++i){
a[x]=i;
Dfs(x+1,std::max(up,i));
}
}
int main(){
scanf("%d",&N);
for(LL i=1;i<=N;++i){
scanf(" %s",s+1);
LL len(strlen(s+1));
if(!n){
    n=1;
    for(;n*(n-1)/2!=len;++n);
}
LL now(0);
for(LL j=1;j<=n;++j) for(LL k=j+1;k<=n;++k) G[i][j][k]=s[++now]-'0';
}
fac[0]=fac[1]=1; for(LL i=2;i<=n;++i) fac[i]=fac[i-1]*i;
Dfs(1,0);
printf("%lld",ans);
return 0;
}