IEEE浮点数标准
阅读笔记:Computer System : A Programmmer’s Perspective
基本概念
IEEE浮点数标准采用
\[V=(-1)^s\times M\times2^E
\]
的形式表示一个数：
-
符号：s决定数的正负
-
尾数：M是一个二进制小数，范围是1~2-epsilon 或者 0~1-epsilon
-
阶码：E的作用是对浮点数加权，权重为2的E次幂
下图为单精度(32位)与双精度(64位)的位示意图：
单精度：
- s：1位
- exp：k=8位
- frac：n=23位
双精度：
- s：1位
- exp：k=11位
- frac：n=52位
三个字段的编码：
-
单独的s直接编码符号s
-
k位的阶码字段：
\[exp=e_{k-1}e_{k-2}\cdots e_{1}e_{0}
\]
编码E
- n位的小数字段：\[frac=f_{n-1}f_{n-1}\cdots f_{1}f_{0}
\]
编码M
编码的三种情况
规范化值
当exp的位即不全为0也不全为1时（即单精度范围：1~254 双精度范围：1~2046），即为规范化的值。这种情况下，阶码字段可以被解释为以偏置量（bias）形式表示的有符号整数
\[E=exp-bias
\]
其中：exp即为阶码字段表示的值，并有
\[bias=2^{k-1}-1
\]
故对于单精度bias=127,双精度bias=1023,由此可得：
\[E=exp-127
\]
或者是：
\[E=exp-1023
\]
因此指数的范围：
\[E\in [-126,127]
\]
或者是：
\[E\in [-1022,1023]
\]
小数字段被解释为描述小数值f，0≤f<1,即：
\[f=\sum_{i=0}^{n-1}f_i*2^{i-n}
\]
尾数定义为：
\[M=1+f
\]
非规范化值
当阶码域全为0时，表示的数是非规范化的，此时的阶码为
\[E=1-bias
\]
故E=-126(单精度)或者E=-1022(双精度)而尾数：
\[M=f
\]
同理0≤f<1,即：
\[f=\sum_{i=0}^{n-1}f_i*2^{i-n}
\]
用途：
- 表示数值0
- 表示非常接近0的数
特殊值
- 无穷大
阶码全为1且小数字段全为0，根据符号位表示±∞
- NaN
阶码全为1且小数字段不全为0，这不是一个数(Not a Number)
总结
值的表示：
\[V=(-1)^s\times M\times2^E
\]
单精度：
-
规范值:
E=exp-bias
bias=127
M=1+f
-
非规范：
E=1-bias=-126
bias=127
M=f
双精度：
-
规范值：
E=exp-bias
bias=1023
M=1+f
-
非规范值
E=1-bias=-1022
bias=1023
M=f
示例
Q1.将-3.33333333转换为单精度表示
首先，将这个小数转化为二进制的小数形式(利用×2法)
\[-3.33333333_{10}=-11.010101010101…_{2}
\]
规范化：
\[-3.33333333_{10}=-1.1010101010101…_{2}\times2^1
\]
因此：
\[s=1
\]\[exp=E+bias=1+127=128_{10}=1000 0000_{2}
\]\[M=1.1010101010…_2\Rightarrow f=1010101010…_2
\]
从而可以写出单精度表示
\[11000000010101010101010101010101_2=C0555555_{16}
\]
Q2.给出如图8位二进制数在IEEE标准的浮点格式
首先对于规范化值：
\[E=exp-bias=exp-7
\]
对于非规范值：
\[E=1-bias=-6
\]
可以写出如下表格：
