题意:
如果一个十进制非负整数的所有数位从高位到低位是不减的,我们称它为“上升数”,例如1558,11,3,0都是上升数,而10,20170312则不是;
给定整数N,求最小的k使得N能被表示为k个上升数之和。
$1\leq N\leq 10^{500000}$
题解:
一个结论:每个上升数必定能被分解为九个全一数的和;
所谓“全一数”就是指1,1111,11111111这种每一位数都为1的数(包括0),证明显然。
设N可以被分解成K个全一数之和,显然答案$k=\lceil\frac{K}{9}\rceil$;
由于全一数不好处理,我们可以把一个长度为$l$的全一数变成$\frac{(10^{l+1}-1)}{9}$,那么有:
$N=\sum\limits_{i=1}^{K}\frac{(10^x)}{9}$(此处$x$代表不确定的位数)
$9N=\sum\limits_{i=1}^{K}(10^x-1)$
$9N+K=\sum\limits_{i=1}^{K}10^x$
这个式子是什么意思呢?如果不考虑进位,右边每一项都会使数位和+1,那么总体就说明$9N+K$的数位和等于$K$的数位和,此时$K$一定是9的倍数;
如果考虑进位,那么每进一位数位和就会减少9,因此$K$仍然要是9的倍数。
由于答案最多不会超过N的位数,枚举k,写个高精度乱做就行了。。。注意加法的时候没有进位就要break,这样是均摊$O(1)$的,否则是$O(n^2)$的。
代码:
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<queue>
#define inf 2147483647
#define eps 1e-9
using namespace std;
typedef long long ll;
int n,tot,a[];
char s[];
void mul(int a[],int &n,int k){
int p=;
tot=;
for(int i=;i<=n;i++){
p=a[i]*k+p;
a[i]=p%;
tot+=a[i];
p/=;
}
if(p)a[++n]=p;
tot+=p;
}
void add(int a[],int &n,int k){
int p=;
tot-=a[];
a[]+=k;
p=a[]/;
a[]%=;
tot+=a[];
for(int i=;i<=n;i++){
tot-=a[i];
a[i]+=p;
p=a[i]/;
a[i]%=;
tot+=a[i];
if(!p)break;
}
if(p)a[++n]=p;
tot+=p;
}
int main(){
scanf("%s",s);
n=strlen(s);
for(int i=;i<=n;i++){
a[i]=s[n-i]-'';
}
mul(a,n,);
for(int i=;i<=n;i++){
add(a,n,);
if(tot%==&&i*>=tot)return printf("%d",i),;
}
return ;
}