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给定四个数 \(a,b,c,d\),求满足以下条件的数对 \((x,y)\) 的个数:
- \(x\leqslant a,y\leqslant b\)。
- \(\dfrac{x}{y}=\dfrac{c}{d}\)。
数据范围:\(1\leqslant a,b,c,d\leqslant 10^{18}\)。
Solution
众所周知,数据范围很大的话一般就得要推结论了。
我们先把这个 \(\dfrac{c}{d}\) 化简一下,假设是 \(\dfrac{c’}{d’}\)。由于很明显,\(x,y\) 显然要分别是 \(c’,d’\) 的倍数,所以设 \(x=k_1c’,y=k_2d’\),那么我们由上面的条件:
\(x\leqslant a,y\leqslant b\)
\(\Rightarrow k_1c’\leqslant a,k_2d’\leqslant b\)
\(\Rightarrow k_1\leqslant \dfrac{c’}{a},k_2\leqslant \dfrac{d’}{b}\)
又因为 \(\dfrac{x}{y}=\dfrac{c’}{d’}\)
所以 \(\dfrac{c’}{x}=\dfrac{d’}{y}\)
那么就只能够从 \(k_1,k_2\) 中取较小值了。因此答案就是 \(\min\{\dfrac{c’}{a},\dfrac{d’}{b}\}\)。
Code
long long a, b, c, d;int main() {
scanf("%lld%lld%lld%lld", &a, &b, &c, &d);
long long gcdcd = __gcd(c, d);
c /= gcdcd, d /= gcdcd;
printf("%lld", min(a / c, b / d));
}