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【BZOJ-4422】Cow Confinement 线段树 + 扫描线 + 差分 （优化DP）

技术 2022年11月16日
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4422: [Cerc2015]Cow Confinement

Time Limit: 50 Sec  Memory Limit: 512 MB
Submit: 61  Solved: 26
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Description

一个10^6行10^6列的网格图，上面有一些牛、花和一些矩形围栏，围栏在格子的边界上，牛和花在格子里，牛只能向下或向右走，牛也不能穿过围栏和地图边界，求每头牛它能到达的花的数量。注意栅栏不会相交  【BZOJ-4422】Cow Confinement 线段树 + 扫描线 + 差分 （优化DP）

Input

第一行一个数f表示矩形围栏的数量。接下来f行，每行四个数x1,y1,x2,y2，表示(x1,y1)在围栏内部矩形的左上角，(x2,y2)在右下角。接下来一行一个数m表示花的数量。接下来m行每行两个数x,y，表示在(x,y)处有一朵花。接下来一行一个数n表示牛的数量。接下来n行每行两个数x,y，表示在(x,y)处有一头牛。

Output

总共n行，每行一个数ans，第i个数表示第i头牛能到ans个花。

Sample Input

4
2 2 8 4
1 9 4 10
6 7 9 9
3 3 7 3
9
3 4
8 4
11 5
10 7
10 8
9 8
2 8
4 11
9 11
8
1 1
5 10
6 9
3 7
7 1
4 2
7 5
3 3

Sample Output

5
1
0
1
3
1
3
0

HINT

0<=f<=2000000<=m<=2000001<=n<=200000

Source

Solution

一道idea非常好的题

首先这题可以DP,不过转移之类的需要讨论，比较麻烦

$dp[i][j]=\begin{Bmatrix} 0(下面和右面都有栅栏)\\ dp[i+1][j](右面有栅栏)\\ dp[i][j+1](下面有栅栏)\\ dp[i+1][j]+dp[i][j+1]-dp[i+1][j+1]((i+1,j+1)不是栅栏的左上角)\\ dp[i+1][j]+dp[i][j+1]-dp[x+1][y+1]((i+1,j+1)是左上角,(x,y)是右下角)& & \end{Bmatrix}+flower[i][j]$

这样DP的时间复杂度是$O((N+F+M)^{2})$的

那么考虑优化这个DP

差分出$f[i][j]$表示$(i,j)$能得到，但$(i,j-1)$不能得到的花的数量

那么考虑扫描线，从右往左

那讨论一下各种情况，

遇到花单点数值+1；遇到一个未出现过的栅栏，区间查询和，单点修改数值，区间修改覆盖0；删除一个栅栏，区间修改覆盖0；遇见一头牛，找到下方第一个栅栏，区间求和；

显然都可以用线段树维护

查找下方第一个栅栏？维护一个最小即可

时间复杂度是$O(10^{6}log10^{6})$

实现起来有一些细节，线段树中需要加特判，当所需要修改的坐标为0啊之类的

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
inline int read()
{
    int x=,f=; char ch=getchar();
    while (ch<'' || ch>'') {if (ch=='-') f=-; ch=getchar();}
    while (ch>='' && ch<='') {x=x*+ch-''; ch=getchar();}
    return x*f;
}
#define MAXY 1000000
#define MAXF 200010
#define MAXN 200010
#define MAXM 200010
int F,M,N;
struct FenceNode{int x1,x2,y1,y2;}fen[MAXF];
struct CowNode{int x,y,id;}cow[MAXN];
struct FlowerNode{int x,y;}flo[MAXM];
struct LineNode{int y,x1,x2,id,f;}line[MAXF<<];  int tp;
struct SegmentTreeNode{int l,r,tag,bk,sum;}tree[MAXY<<];
int tmp[MAXF],ans[MAXN];
inline void Update(int now)
{
    tree[now].bk=min(tree[now<<].bk,tree[now<<|].bk);
    tree[now].sum=tree[now<<].sum+tree[now<<|].sum;
}
inline void PushDown(int now)
{
    if (!tree[now].tag || tree[now].l==tree[now].r) return;
    tree[now].tag=;
    tree[now<<].sum=; tree[now<<|].sum=;
    tree[now<<].tag=; tree[now<<|].tag=;
}
inline void BuildTree(int now,int l,int r)
{
    tree[now].l=l,tree[now].r=r;
    tree[now].sum=; tree[now].tag=; tree[now].bk=MAXY;
    if (l==r) return;
    int mid=(l+r)>>;
    BuildTree(now<<,l,mid);
    BuildTree(now<<|,mid+,r);
    Update(now);
}
inline void PointChangeSum(int now,int pos,int D)
{
    if (pos==MAXY+ || pos==) return;
    int l=tree[now].l,r=tree[now].r;
    PushDown(now);
    if (l==r) {tree[now].sum+=D; return;}
    int mid=(l+r)>>;
    if (pos<=mid) PointChangeSum(now<<,pos,D);
    if (pos>mid) PointChangeSum(now<<|,pos,D);
    Update(now);
}
inline void PointChangeBreak(int now,int pos,int D)
{
    if (pos==MAXY+ || pos==) return;
    int l=tree[now].l,r=tree[now].r;
    PushDown(now);
    if (l==r) {tree[now].bk=D? l:MAXY; return;}
    int mid=(l+r)>>;
    if (pos<=mid) PointChangeBreak(now<<,pos,D);
    if (pos>mid) PointChangeBreak(now<<|,pos,D);
    Update(now);
}
inline void IntervalChange(int now,int L,int R)
{
    if (L== || R==MAXY+ || R<L) return;
    int l=tree[now].l,r=tree[now].r;
    PushDown(now);
    if (L<=l && R>=r) {tree[now].tag=; tree[now].sum=; return;}
    int mid=(l+r)>>;
    if (L<=mid) IntervalChange(now<<,L,R);
    if (R>mid) IntervalChange(now<<|,L,R);
    Update(now);
}
inline int IntervalQuerySum(int now,int L,int R)
{
    if (L== || R==MAXY+ || R<L) return ;
    int l=tree[now].l,r=tree[now].r;
    PushDown(now);
    if (L<=l && R>=r) return tree[now].sum;
    int mid=(l+r)>>,re=;
    if (L<=mid) re+=IntervalQuerySum(now<<,L,R);
    if (R>mid) re+=IntervalQuerySum(now<<|,L,R);
    return re;
}
inline int IntervalQueryBreak(int now,int L,int R)
{
    if (L== || R==MAXY+ || R<L) return ;
    int l=tree[now].l,r=tree[now].r;
    PushDown(now);
    if (L<=l && R>=r) return tree[now].bk;
    int mid=(l+r)>>,re=MAXY;
    if (L<=mid) re=min(re,IntervalQueryBreak(now<<,L,R));
    if (R>mid) re=min(re,IntervalQueryBreak(now<<|,L,R));
    return re;
}
inline bool cmpLine(LineNode A,LineNode B) {return A.y!=B.y? A.y>B.y : A.x1<B.x1;}
inline bool cmpCow(CowNode A,CowNode B) {return A.y>B.y;}
inline bool cmpFlower(FlowerNode A,FlowerNode B) {return A.y>B.y;}
int main()
{
    F=read();
    for (int i=; i<=F; i++) fen[i].x1=read(),fen[i].y1=read(),fen[i].x2=read(),fen[i].y2=read();
    for (int i=; i<=F; i++)
        line[++tp]=(LineNode){fen[i].y1-,fen[i].x1,fen[i].x2,i,-},
        line[++tp]=(LineNode){fen[i].y2,fen[i].x1,fen[i].x2,i,};
    sort(line+,line+tp+,cmpLine);
    M=read();
    for (int i=; i<=M; i++) flo[i].x=read(),flo[i].y=read();
    sort(flo+,flo+M+,cmpFlower);
    N=read();
    for (int i=; i<=N; i++) cow[i].x=read(),cow[i].y=read(),cow[i].id=i;
    sort(cow+,cow+N+,cmpCow);
    BuildTree(,,MAXY);
    int nowl=,nowf=,nowc=,next,sum;
    for (int i=MAXY; i; i--)
        {
            while (line[nowl].y==i)
                {
                    if (line[nowl].f==-)
                        {
                            IntervalChange(,line[nowl].x1,line[nowl].x2);
                            PointChangeSum(,line[nowl].x1-,-tmp[line[nowl].id]);
                            PointChangeBreak(,line[nowl].x1-,);
                            PointChangeBreak(,line[nowl].x2,);
                        }
                    else
                        {
                            next=IntervalQueryBreak(,line[nowl].x2,MAXY);
                            sum=IntervalQuerySum(,line[nowl].x1,line[nowl].x2);
                            tmp[line[nowl].id]=IntervalQuerySum(,line[nowl].x2+,next);
                            IntervalChange(,line[nowl].x1,line[nowl].x2);
                            PointChangeSum(,line[nowl].x1-,sum+tmp[line[nowl].id]);
                            PointChangeBreak(,line[nowl].x1-,);
                            PointChangeBreak(,line[nowl].x2,);
                        }
                    nowl++;
                }
            while (flo[nowf].y==i)
                PointChangeSum(,flo[nowf].x,),nowf++;
            while (cow[nowc].y==i)
                next=IntervalQueryBreak(,cow[nowc].x,MAXY),
                ans[cow[nowc].id]=IntervalQuerySum(,cow[nowc].x,next),
                nowc++;
        }
    for (int i=; i<=N; i++) printf("%d\n",ans[i]);
    return ;
}
#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
const int X=1e6+,Y=1e6,F=2e5+,M=2e5+,N=2e5+;
char * cp=(char *)malloc();
void in(int &x){
    while(*cp<''||*cp>'')++cp;
    for(x=;*cp>=''&&*cp<='';)x=x*+(*cp++^'');
}struct FenS{
    int xl,xr;
    int y;
    int i;
    bool flag;
    bool operator < (const FenS & o)const{
        return y!=o.y?y>o.y:xl<o.xl;
    }
}fence[F<<];
int fsum[F];
struct FloS{
    int x,y;
    bool operator < (const FloS & o)const{
        return y>o.y;
    }
}flower[M];
struct CS{
    int x,y;
    int i;
    bool operator < (const CS & o)const{
        return y>o.y;
    }
}cow[N];
int ans[N];struct SS{
    int cnt;
    bool cover;
    bool barrier;
}segt[X<<];
#define lson node<<1,l,l+r>>1
#define rson node<<1|1,(l+r>>1)+1,r
void out(int node,int l,int r){
    printf("segt[%d][%d,%d]={cnt=%d,cover=%d,barrier=%d}\n",node,l,r,segt[node].cnt,segt[node].cover,segt[node].barrier);
}
void pushup(int node){
    segt[node].cnt=segt[node<<].cnt+segt[node<<|].cnt;
    segt[node].barrier=segt[node<<].barrier|segt[node<<|].barrier;
}
void paint(int node){
    //printf("paint(%d)\n",node);
    segt[node].cover=;
    segt[node].cnt=;
}
void pushdown(int node){
    if(segt[node].cover){
        paint(node<<),paint(node<<|);
        segt[node].cover=;
    }
}
void add(int node,int l,int r,int x,int delta){
    //printf("add(%d,%d,%d,%d,%d)\n",node,l,r,x,delta);
    //out(node,l,r);
    segt[node].cnt+=delta;
    if(l!=r){
        pushdown(node);
        if(x<=l+r>>)add(lson,x,delta);
        else add(rson,x,delta);
        pushup(node);
    }
    //printf("add:");
    //out(node,l,r);
}
void cover(int node,int l,int r,int L,int R){
    //out(node,l,r);
    if(L<=l&&r<=R)paint(node);
    else{
        pushdown(node);
        if(L<=l+r>>)cover(lson,L,R);
        if(R>l+r>>)cover(rson,L,R);
        pushup(node);
    }
}
int query_cnt(int node,int l,int r,int L,int R){
    //printf("query(%d,%d,%d,%d,%d)\n",node,l,r,L,R);
    if(L<=l&&r<=R){
        //printf("query_cnt get [%d][%d,%d]=%d\n",node,l,r,segt[node].cnt);
        return segt[node].cnt;
    }
    else{
        pushdown(node);
        int ans=;
        if(L<=l+r>>)ans+=query_cnt(lson,L,R);
        if(R>l+r>>)ans+=query_cnt(rson,L,R);
        return ans;
    }
}
void update(int node,int l,int r,int x){
    if(l==r)segt[node].barrier^=;
    else{
        pushdown(node);
        if(x<=l+r>>)update(lson,x);
        else update(rson,x);
        pushup(node);
    }
    //printf("update:");
    //out(node,l,r);
}
int query_barrier(int node,int l,int r,int L){
    if(l>=L){
        //printf("Query_barrier Get ");
        //out(node,l,r);
        if(segt[node].barrier){
            while(l!=r)
                if(segt[node<<].barrier)node<<=,r=l+r>>;
                else node=node<<|,l=(l+r>>)+;
            return l;
        }
        else return ;
    }
    else{
        int tmp;
        pushdown(node);
        if(L<=l+r>>&&(tmp=query_barrier(lson,L)))return tmp;
        else return query_barrier(rson,L);
    }
}
int main(){
    freopen("cow.in","r",stdin);
    freopen("cow.out","w",stdout);
    fread(cp,,,stdin);
    int f;
    in(f);
    int x1,y1,x2,y2;
    for(int i=f;i--;){
        in(x1),in(y1),in(x2),in(y2);
        fence[i<<]=(FenS){x1,x2,y1-,i,};
        fence[i<<|]=(FenS){x1,x2,y2,i,};
    }
    sort(fence,fence+(f<<));
    int m;
    in(m);
    for(int i=m;i--;)in(flower[i].x),in(flower[i].y);
    sort(flower,flower+m);
    int n;
    in(n);
    for(int i=;i<n;++i){
        in(cow[i].x),in(cow[i].y);
        cow[i].i=i;
    }
    sort(cow,cow+n);    f=m=n=;
    update(,,Y,Y);
    int sum,br;
    for(int i=Y;i;--i){
        //printf("----%d----\n",i);
        for(;fence[f].y==i;++f)
            if(fence[f].flag==){
                cover(,,Y,fence[f].xl,fence[f].xr);
                if(fence[f].xl!=)add(,,Y,fence[f].xl-,-fsum[fence[f].i]);                if(fence[f].xl!=)update(,,Y,fence[f].xl-);
                if(fence[f].xr!=Y)update(,,Y,fence[f].xr);
            }
            else{
                br=query_barrier(,,Y,fence[f].xr);
                sum=query_cnt(,,Y,fence[f].xl,fence[f].xr);
                fsum[fence[f].i]=query_cnt(,,Y,fence[f].xr+,br);
                cover(,,Y,fence[f].xl,fence[f].xr);
                if(fence[f].xl>)add(,,Y,fence[f].xl-,sum+fsum[fence[f].i]);                if(fence[f].xl!=)update(,,Y,fence[f].xl-);
                if(fence[f].xr!=Y)update(,,Y,fence[f].xr);
            }
        for(;flower[m].y==i;++m){
            //cout<<flower[m].x<<","<<flower[m].y<<endl;
            add(,,Y,flower[m].x,);
        }
        for(;cow[n].y==i;++n){
            br=query_barrier(,,Y,cow[n].x);
            //printf("br(%d)=%d\n",cow[n].x,br);
            ans[cow[n].i]=query_cnt(,,Y,cow[n].x,br);
            //printf("query(%d,%d)=%d\n",cow[n].x,br,ans[cow[n].i]);
        }
    }    for(int i=;i<n;++i)printf("%d\n",ans[i]);
}

TA爷的代码

TA爷的模拟赛…..暴力都没写…..有点对不起TA爷….（不过似乎当时这题没得分的？）

自己的代码比较丑，这里附上当时TA爷的std，供参考

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Lomu

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这家伙很懒，只想把你留下。

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