更新：1 APR 2016
关于傅里叶级数参看数理方程：Fourier级数
Fourier变换：
对于满足Dirichlet条件的函数\(f(t)\)在其连续点处定义
\(F(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-\mathrm{i}\omega t}dt\)
则\(f(t)\)可变换为
\(f(t)=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(\omega)e^{\mathrm{i}\omega t}d \omega\)
此即Fourier变换，是一种函数空间中的一一映射，记作
\(F(\omega)=\mathscr{F}[f(t)],\qquad f(t)=\mathscr{F}^{-1}[F(\omega)]\)
Fourier变换的基本性质：
1. 线性
\(\mathscr{F}[\alpha f_1(t)+\beta f_2(t)]=\alpha \mathscr{F}[f_1(t)]+\beta \mathscr{F}[f_2(t)]\)
2. 微分性
(1) \(\mathscr{F}[f’(t)]=\mathrm{i}\omega\mathscr{F}[f(t)]\)
(2) \(\dfrac{d}{d\omega}\mathscr{F}[f(t)]=\mathscr{F}[-\mathrm{i}tf(t)]\)
3. 积分性
若当\(t \rightarrow +\infty\)时，\(g(t)=\int_{-\infty}^tf(a)da \rightarrow 0\)，则
\(\mathscr{F}\left[\int_{-\infty}^tf(a)da\right]=\dfrac{1}{\mathrm{i}\omega}\mathscr{F}[f(t)]\)
卷积
卷积为定义在函数空间上的二元运算。对于函数\(f_1(t)\)，\(f_2(t)\)，定义卷积运算\(*\)
\(f_1(t)*f_2(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_1(\tau)f_2(t-\tau)d\tau\)
卷积运算满足交换律、结合律、对加法的分配律。
卷积定理
若\(f_1(t)\)，\(f_2(t)\)可以进行Fourier变换，则
\(\mathscr{F}[f_1(t)*f_2(t)]=\mathscr{F}[f_1(t)]\mathscr{F}[f_2(t)]\)
将卷积运算和乘法运算互换。
在数理方程中可以用来解决较难逆变换的函数——分解因式以简化变换。
